Lebesguen mitan kiertoinvarianttisuus ja Hausdorffin mitta
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tämän tutkielman tarkoituksena on osoittaa, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, sekä esitellä lukijalle Hausdorffin mitta ja sen ominaisuuksia. Lebesguen mitan kiertoinvarianttisuuden todistus vaatii paljon esitietoja, joita käsittelemme ensimmäisessä luvussa. Toisessa luvussa todistamme, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, ja kolmannessa luvussa tutustumme Hausdorffin mittaan.
Ensimmäisessä luvussa tarkastelemme useita Mitta- ja integraaliteorian kurssilta opiskelijalle tuttuja määritelmiä ja lauseita, esimerkiksi Lebesguen ulkomittaan, Lebesgue-mitallisuuteen ja lopuksi myös Lebesguen mittaan liittyen. Eräitä tärkeitä tuloksia ovat mitallisten joukkojen ominaisuudet ja Lebesguen mitan siirtoinvarianttisuus. Näitä tuloksia tarvitsemme myöhemmin, jotta voimme osoittaa Lebesguen mitan olevan kiertoinvariantti.
Toisen luvun alussa määrittelemme Whitney-kuutiot, jotka ovat puoliavoimia kuutioita, joiden sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset. Esittelemme myös muita Whitney-kuutioiden ominaisuuksia. Tämän jälkeen kertaamme kääntyvän lineaarikuvauksen ominaisuuksia ja määrittelemme kiertokuvauksen. Näiden valmistelujen jälkeen olemme valmiit todistamaan tutkielman päätuloksen: mille tahansa avaruuden R^n osajoukolle E pätee m*(TE)=|det T|m*(E) aina, kun T on kääntyvä lineaarikuvaus. Todistuksen jälkeen pystymme toteamaan, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, sillä kiertokuvaukselle pätee |det T|=1.
Viimeisessä luvussa tutkimme yleistä ulkomittaa μ ja osoitamme, että μ-mitallisten joukkojen kokoelma muodostaa σ-algebran. Osoitamme myös, että metrinen ulkomitta on Borel-mitta. Tämän jälkeen tutustumme Hausdorffin mittaan, ja osoitamme sen olevan ulkomitta, Borel-mitta ja Borel-säännöllinen. Lopuksi toteamme, että Hausdorffin ja Lebesguen n-ulotteiset mitat ovat yhtä suuret avaruudessa R^n.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28950]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Joukon koon arviointi numeroituvuuden, Bairen kategorian, Lebesguen mitan ja Hausdorff-dimension kautta
Martikainen, Camilla (2016) -
Milloin joukon Lebesguen ja Hausdorffin mitat ovat yhtä suuria?
Väätäinen, Juha (2012)Tässä kirjoitelmassa tarkastelemme Lebesguen ja Hausdorffin mittojen suhdetta tai milloin ne ovat yhtä suuria. Tähän tarkasteluun tarvitsemme muun muassa n-ulotteisen pallon tilavuutta, Vitalin peitelausetta, tasaisesti ... -
Bochner-integraali ja Radon-Nikodym -ominaisuus
Miettinen, Jani (2022)Tutkielma tarkastelee Banach-avaruuksien vektoriarvoista Bochner-integraalia. Integraali määritellään yksinkertaisille kuvauksille Lebesgue-integraalia ja avaruuden täydellisyyttä käyttäen. Tämän jälkeen tutustutaan ... -
Dimension of projection : Marstrand's theorem
Pesonen, Sofia (2022)Tässä tutkielmassa todistetaan Marstrandin projektiolause käyttäen apuna potentiaaliteoriaa. Projektiolauseen mukaan 2-ulotteisen Borel joukon ortogonaaliprojektion Hausdorffin dimensio on luvun 1 ja kyseisen Borel joukon ... -
Optimaalisten liikennesuunnitelmien olemassaolo
Rauhansalo, Akseli (2020)Tässä tutkielmassa perehdytään massansiirtoteorian perusteisiin, erityisesti niin kutsuttujen liikennesuunnitelmien kautta. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että liikennesuunnitelman energialle on olemassa optimaalinen ...