Dimension of projection : Marstrand's theorem
Authors
Date
2022Tässä tutkielmassa todistetaan Marstrandin projektiolause käyttäen apuna potentiaaliteoriaa.
Projektiolauseen mukaan 2-ulotteisen Borel joukon ortogonaaliprojektion Hausdorffin dimensio on luvun 1 ja kyseisen Borel joukon dimension minimi melkein kaikkiin eri suuntiin.
Intuitiivisesti lause kertoo, että joukon varjon dimensio on suurin mahdollinen.
Marstrandin projektiolauseen todistamiseksi tutkielmassa rakennetaan teoria alkaen yleisen mittateorian perustuloksista.
Mittateorian pohjalta määritellään Hausdorffin mitta, jonka avulla määritellään joukon Hausdorffin dimensio.
Intuitiivisesti Hausdorffin dimensio kuvaa joukon geometrista kokoa ja se on yksikäsitteinen jokaiselle joukolle.
Hausdorffin dimensio mahdollistaa monimutkaisten joukkojen, kuten fraktaalien, geometrian tutkimisen.
Lisäksi esitellään dimensioihin liittyviä merkintöjä ja tapoja arvioida joukon Hausdorffin dimension suuruutta.
Tutkielman lopussa esitellään algoritminen menetelmä, jonka avulla voidaan muodostaa esimerkkejä fraktaaleista.
Lopuksi sovelletaan Marstrandin projektiolausetta erilaisiin joukkoihin.
John Marstrand todisti projektiolauseen vuonna 1954.
Robert Kaufman todsti tuloksen käyttäen potentiaaliteoriaa vuonna 1968.
Myöhemmin Kenneth Falconer esitteli Kaufmania mukaillen potentiaaliteoriaan perustuvan todistuksen.
Tässä tutkielmassa esitellään kyseinen todistus yksityiskohtaisemmin.
Marstrandin projektiolause tuli tunnetuksi, kun Mandelbrot popularisoi fraktaalin käsitteen 1970-luvulla.
Lause voidaan yleistää korkeampiin dimensioihin ja se on tärkeä työkalu fraktaalien geometrian tarkastelussa.
Vaikka lause on tunnettu pitkään, siihen liittyy edelleen avoimia ongelmia.
...
In this thesis we prove Marstrand's projection theorem using potential theoretical methods.
Projection theorem claims that the Hausdorff dimension of the orthogonal projection of a Borel set in $\mathbb{R}^2$ is the minimum between 1 and the dimension of the set for almost all angles.
Intuitively, the theorem gives that the shadow of the set has the highest possible dimension.
This result was first proven by John Marstrand in 1954 and it became well known after Mandelbrot popularized the notion of fractal in the 1970s.
Marstrand’s theorem has generalizations to higher dimensions and it is an important tool to look into the geometry of fractals.
Although the theorem has been known for long time, there are still open problems related to it.
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29685]
License
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
On a Continuous Sárközy-Type Problem
Kuca, Borys; Orponen, Tuomas; Sahlsten, Tuomas (Oxford University Press (OUP), 2023)We prove that there exists a constant ϵ>0ϵ>0 with the following property: if K⊂R2K⊂R2 is a compact set that contains no pair of the form {x,x+(z,z2)}{x,x+(z,z2)} for z≠0z≠0, then dimHK≤2−ϵdimHK≤2−ϵ. -
Julian joukot
Kivinen, Henna-Liisa (2013) -
On the Hausdorff dimension of radial slices
Orponen, Tuomas (Suomen matemaattinen yhdistys, 2024)Let t∈(1,2), and let B⊂R2 be a Borel set with dimHB>t. I show that H1({e∈S1:dimH(B∩ℓx,e)≥t−1})>0 for all x∈R2∖E, where dimHE≤2−t. This is the sharp bound for dimHE. The main technical tool is an incidence inequality of the ... -
On the dimension of Kakeya sets in the first Heisenberg group
Liu, Jiayin (American Mathematical Society (AMS), 2022)We define Kakeya sets in the Heisenberg group and show that the Heisenberg Hausdorff dimension of Kakeya sets in the first Heisenberg group is at least 3. This lower bound is sharp since, under our definition, the {xoy}-plane ... -
On the dimension of visible parts
Orponen, Tuomas (European Mathematical Society - EMS - Publishing House GmbH, 2023)I prove that the visible parts of a compact set in Rn, n≥2, have Hausdorff dimension at most n − 1/50n from almost every direction.