Bochner-integraali ja Radon-Nikodym -ominaisuus
Tekijät
Päivämäärä
2022Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tutkielma tarkastelee Banach-avaruuksien vektoriarvoista Bochner-integraalia. Integraali määritellään yksinkertaisille kuvauksille Lebesgue-integraalia ja avaruuden täydellisyyttä käyttäen. Tämän jälkeen tutustutaan vektoriarvoisten joukkokuvausten eli vektorimittojen teoriaan. Lopuksi tutkitaan Banach-avaruuden Radon-Nikodym -ominaisuutta, joka yhdistää vektorimittojen ja Bochner-integraalin teorian sekä vastaa kysymykseen, voidaanko annettu vektorimitta esittää integroituvan kuvauksen Bochner-integraalina. Avaruudet, joilla on tämä ominaisuus omaavat mielenkiintoisia rakenteita sekä topologisesta että geometrisesta näkökulmasta.
Myöhempien lukujen osalta on olennaista tuntea Banach-avaruuksien ja Lebesgue-integraaliin liittyvä perusteoria. Ensimmäinen luku käy läpi normiavaruuksien teoriaa painottamalla lineaarikuvauksia ja listaamalla keskeisimmät tulokset, kuten Hahn-Banach -lauseen ja sen seuraukset. Funktionaalianalyyttinen osuus päätetään heikon topologian määritelmään. Viimeinen aliluku käsittelee mittojen, yksinkertaisen kuvausten, Lebesgue-integraalien ja L^p-avaruuksien aihealueet.
Toisessa luvussa käsitellään mitallisia kuvauksia ja Bochner-integraalia. Mitalliset kuvaukset ovat niitä kuvauksia, joille integraali on hyvin määritelty ja joille integraali voi ylipäätään olla olemassa. Mitallisuustyyppejä on useampia, joista olennaisimmat ovat mu-mitallisuus ja heikko mitallisuus. Käsitteet liittyvät läheisesti toisiinsa Pettisin mitallisuuslauseen kautta. Tämän jälkeen määritellään Bochner-integraali yksinkertaisten kuvausten integraalien Cauchy-jonon raja-arvona. Teoria alkaa perustuloksista ja myöhemmin nähdään, että integroituvuuteen riittää tarkastella vain reaaliarvoista normikuvausta viittaamatta yksinkertaisiin kuvauksiin. Integraalien keskeisenä tuloksena saadaan suljettuihin lineaarikuvauksiin liittyvä Hillen lause. Lopuksi käsitellään Bochner-L^p-avaruudet ja heikosti mitallisten kuvausten Pettis-integraali.
Mittojen käsitettä voidaan tarkastella myös vektoriarvoisille joukkokuvauksille, jolloin saadaan vektorimittojen käsite. Kolmannessa luvussa tutustutaan vektorimittoihin, näiden variaatioihin sekä vektorimittojen Banach-avaruuksiin. Lopuksi tutkitaan Pettis-integraalia vektorimittana.
Viimeisessä luvussa käsitellään Radon-Nikodym -ominaisuutta. Jokainen absoluuttisesti jatkuva reaaliarvoinen äärellinen mitta voidaan esittää toisen mitan suhteen integraalina: tämä tulos tunnetaan Radon-Nikodym -lauseena, jolle annetaan todistus. Yleisissä Banach-avaruuksissa voidaan määritellä vastaava asetelma, mutta osoittautuu, että jokaisella avaruudella ei ole tätä esitysominaisuutta. Luvun tavoitteena on näyttää erilaisia ehtoja Radon-Nikodym -ominaisuudelle. Ensimmäisenä aloitetaan L^1-avaruuden operaattoreiden Riesz-esitettävyydestä. Tämän jälkeen siirrytään lommoontuviin (eng. dentable) joukkoihin ja konveksisuuteen. Lopuksi esitetään joitakin Radon-Nikodym -ominaisuuden karakterisointeja, kuten Banach-arvoisten absoluuttisesti jatkuvien kuvausten differentioituvuus.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28039]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Moniulotteinen Riemannin integraali
Kattelus, Elina (2023)Tässä tutkielmassa tutustutaan moniulotteiseen Riemannin integraaliin ja sen taustalla oleviin lauseisiin ja todistuksiin. Riemannin integraali saadaan Darboux’n summien raja-arvona integrointivälin jakoa tihennettäessä, ... -
Radon–Nikodym Property and Area Formula for Banach Homogeneous Group Targets
Magnani, Valentino; Rajala, Tapio (Oxford University Press, 2014)We prove a Rademacher-type theorem for Lipschitz mappings from a subset of a Carnot group to a Banach homogeneous group, equipped with a suitably weakened Radon-Nikodym property. We provide a metric area formula that ... -
The metric-valued Lebesgue differentiation theorem in measure spaces and its applications
Lučić, Danka; Pasqualetto, Enrico (Birkhäuser, 2023)We prove a version of the Lebesgue differentiation theorem for mappings that are defined on a measure space and take values into a metric space, with respect to the differentiation basis induced by a von Neumann lifting. ... -
Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lehtonen, Taru (2016)Tutkielmassa tarkastellaan ensin Riemannin integraalia ja sen ongelmia rajankäyntitilanteissa. Suurin ongelma rajankäynnissä on, että Riemannintegraalien jonon raja-arvo ei välttämättä aina ole sama kuin rajafunktion Rie ... -
Isometric embeddings of snowflakes into finite-dimensional Banach spaces
Le Donne, Enrico; Rajala, Tapio; Walsberg, Erik (American Mathematical Society, 2018)We consider a general notion of snowflake of a metric space by composing the distance with a nontrivial concave function. We prove that a snowflake of a metric space X isometrically embeds into some finite-dimensional ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.