Lebesguen mitan kiertoinvarianttisuus ja Hausdorffin mitta

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on osoittaa, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, sekä esitellä lukijalle Hausdorffin mitta ja sen ominaisuuksia. Lebesguen mitan kiertoinvarianttisuuden todistus vaatii paljon esitietoja, joita käsittelemme ensimmäisessä luvussa. Toisessa luvussa todistamme, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, ja kolmannessa luvussa tutustumme Hausdorffin mittaan.

Ensimmäisessä luvussa tarkastelemme useita Mitta- ja integraaliteorian kurssilta opiskelijalle tuttuja määritelmiä ja lauseita, esimerkiksi Lebesguen ulkomittaan, Lebesgue-mitallisuuteen ja lopuksi myös Lebesguen mittaan liittyen. Eräitä tärkeitä tuloksia ovat mitallisten joukkojen ominaisuudet ja Lebesguen mitan siirtoinvarianttisuus. Näitä tuloksia tarvitsemme myöhemmin, jotta voimme osoittaa Lebesguen mitan olevan kiertoinvariantti.

Toisen luvun alussa määrittelemme Whitney-kuutiot, jotka ovat puoliavoimia kuutioita, joiden sivut ovat koordinaattiakselien suuntaiset. Esittelemme myös muita Whitney-kuutioiden ominaisuuksia. Tämän jälkeen kertaamme kääntyvän lineaarikuvauksen ominaisuuksia ja määrittelemme kiertokuvauksen. Näiden valmistelujen jälkeen olemme valmiit todistamaan tutkielman päätuloksen: mille tahansa avaruuden R^n osajoukolle E pätee m*(TE)=|det T|m*(E) aina, kun T on kääntyvä lineaarikuvaus. Todistuksen jälkeen pystymme toteamaan, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, sillä kiertokuvaukselle pätee |det T|=1.

Viimeisessä luvussa tutkimme yleistä ulkomittaa μ ja osoitamme, että μ-mitallisten joukkojen kokoelma muodostaa σ-algebran. Osoitamme myös, että metrinen ulkomitta on Borel-mitta. Tämän jälkeen tutustumme Hausdorffin mittaan, ja osoitamme sen olevan ulkomitta, Borel-mitta ja Borel-säännöllinen. Lopuksi toteamme, että Hausdorffin ja Lebesguen n-ulotteiset mitat ovat yhtä suuret avaruudessa R^n.