Optimaalisten liikennesuunnitelmien olemassaolo
Authors
Date
2020Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa perehdytään massansiirtoteorian perusteisiin, erityisesti niin kutsuttujen liikennesuunnitelmien kautta. Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että liikennesuunnitelman energialle on olemassa optimaalinen liikennesuunnitelma, joka minimoi energian.
Käsiteltävässä massansiirto-ongelmassa tavoitteena on siirtää massaa yhdeltä mitalta toiselle mahdollisimman pienellä kokonaiskustannuksella. Mahdolliset kuljetusreitit määritellään Lipschitz-jatkuvina polkuina. Lipschitz-polkujen muodostama metrinen avaruus osoitetaan kompaktiksi sopivalla etäisyyden valinnalla. Metristä avaruutta kutsutaan kompaktiksi, jos sen jokaisella peitteellä on olemassa äärellinen osapeite.
Mahdollisista kuljetusreiteistä rakennetaan niin kutsuttu liikennesuunnitelma, joka painottaa polkujen avaruutta siten, että painotetut polut kuljettavat massaa suhteessa annettuun painoon. Liikennesuunnitelma on tällöin luonnollista määritellä mittana Lipschitz-polkujen avaruuteen. Liikennesuunnitelmalta vaaditaan, että äärettömän pitkät polut saavat painokseen nollan, toisin sanoen äärettömän pitkien polkujen osajoukko on nollamittainen liikennesuunnitelman suhteen.
Liikennesuunnitelmalle määritellään energia, joka on yhdenmukainen diskreettien massansiirto-ongelmien kanssa. Energia tulee riippumaan käytettyjen liikennesuunnitelman painottamien polkujen pituuksista ja kertaluvuista. Kertaluku kuvastaa sitä, kuinka usea polku käy samassa pisteessä. Energian minimoimiseksi pituus ja kertaluku halutaan luonnollisesti minimoida optimaalisen liikennesuunnitelman löytämisellä.
Optimaalisen liikennesuunnitelman olemassaolo seuraa polkuavaruuden kompaktiudesta sekä energian alhaalta puolijatkuvuudesta. Alhaalta puolijatkuvuuden osoittaminen on yleinen strategia minimointiongelmien ratkaisemisessa. Alhaalta puolijatkuvuus on jatkuvuutta heikompi ehto funktiolle. Rakenteeltaan optimaalinen liikennesuunnitelma tulee olemaan haarautunut eli puumainen, mutta tämän perustelu sivuutetaan.
...


Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [24542]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Uniformization with Infinitesimally Metric Measures
Rajala, Kai; Rasimus, Martti; Romney, Matthew (Springer, 2021)We consider extensions of quasiconformal maps and the uniformization theorem to the setting of metric spaces X homeomorphic to R2R2. Given a measure μμ on such a space, we introduce μμ-quasiconformal maps f:X→R2f:X→R2, ... -
On one-dimensionality of metric measure spaces
Schultz, Timo (American Mathematical Society (AMS), 2021)In this paper, we prove that a metric measure space which has at least one open set isometric to an interval, and for which the (possibly non-unique) optimal transport map exists from any absolutely continuous measure to ... -
Indecomposable sets of finite perimeter in doubling metric measure spaces
Bonicatto, Paolo; Pasqualetto, Enrico; Rajala, Tapio (Springer, 2020)We study a measure-theoretic notion of connectedness for sets of finite perimeter in the setting of doubling metric measure spaces supporting a weak (1,1)-Poincaré inequality. The two main results we obtain are a decomposition ... -
Two‐dimensional metric spheres from gluing hemispheres
Ikonen, Toni (Wiley-Blackwell, 2022)We study metric spheres (Z,dZ) obtained by gluing two hemispheres of S2 along an orientation-preserving homeomorphism g:S1→S1, where dZ is the canonical distance that is locally isometric to S2 off the seam. We show that ... -
Metric Rectifiability of H-regular Surfaces with Hölder Continuous Horizontal Normal
Di Donato, Daniela; Fässler, Katrin; Orponen, Tuomas (Oxford University Press, 2022)Two definitions for the rectifiability of hypersurfaces in Heisenberg groups Hn have been proposed: one based on H-regular surfaces and the other on Lipschitz images of subsets of codimension-1 vertical subgroups. The ...