On the Hausdorff dimension of radial slices

Abstract

Let t∈(1,2), and let B⊂R2 be a Borel set with dimHB>t. I show that H1({e∈S1:dimH(B∩ℓx,e)≥t−1})>0 for all x∈R2∖E, where dimHE≤2−t. This is the sharp bound for dimHE. The main technical tool is an incidence inequality of the form Iδ(μ,ν)≲tδ⋅√It(μ)I3−t(ν),t∈(1,2), where μ is a Borel measure on R2, and ν is a Borel measure on the set of lines in R2, and Iδ(μ,ν) measures the δ-incidences between μ and the lines parametrised by ν. This inequality can be viewed as a δ−ϵ-free version of a recent incidence theorem due to Fu and Ren. The proof in this paper avoids the high-low method, and the induction-on-scales scheme responsible for the δ−ϵ-factor in Fu and Ren's work. Instead, the inequality is deduced from the classical smoothing properties of the X-ray transform.

Olkoon t∈(1,2), ja olkoon B⊂R2 Borel-joukko, jolla dimHB>t. Paperissa osoitetaan, että H1({e∈S1:dimH(B∩ℓx,e)≥t−1})>0 kaikilla x∈R2∖E, missä dimHE≤2−t. Tämä on tarkka yläraja dimHE:n Hausdorff-dimensiolle. Tärkein tekninen työkalu on seuraava insidenssiepäyhtälö: Iδ(μ,ν)≲tδ⋅√It(μ)I3−t(ν),t∈(1,2), missä μ on Borel-mitta tasossa, ν on Borel-mitta tason suorien joukossa, ja luku Iδ(μ,ν) mittaa δ-insidenssejä mittojen μ ja ν painottamien pisteiden ja suorien välillä. Insidenssiepäyhtälö on tarkempi versio Fun ja Renin äskettäin todistamasta arviosta, josta on poistettu ylimääräinen δ−ϵ-tekijä. Tämän paperin todistuksessa ei käytetä "high-low"-metodia eikä induktiota skaalojen suhteen, mitkä Fun ja Renin todistuksessa aiheuttivat δ−ϵ-tekijän. Sen sijaan epäyhtälö johdetaan Röntgen-muunnoksen klassisista silotusominaisuuksista.