Harmoniset funktiot ja satunnaiskävely

Abstract

Tämän tutkielman ensimmäisessä kokonaisuudessa tarkoituksena on tutustua harmonisiin funktioihin ja niiden ominaisuuksiin. Niistä keskeinen on harmonisen funktion keskiarvoperiaate. Toisessa kokonaisuudessa tarkastellaan todennäköisyysteoriaa ja harmonisen funktion yhteyttä pallossa tapahtuvaan satunnaiskävelyyn. Tutkielman alussa tutustutaan Laplacen yhtälöön, jonka avulla harmoniset funktiot määritellään. Erityisesti tarkastellaan sen fysikaalista tulkintaa ja johdetaan perusratkaisu. Seuraavaksi esitellään kolme harmonisen funktion ominaisuutta. Näistä harmonisen funktion keskiarvoperiaate kertoo harmonisen funktion saavan pallon keskipisteessä yhtä suuren arvon sekä pallon pinnalla olevien arvojen keskiarvon että pallon sisällä olevien arvojen keskiarvon kanssa. Keskiarvoperiaatteesta seuraa, että harmoniset funktiot ovat säännöllisiä eli äärettömän monta kertaa jatkuvasti differentioituvia. Lisäksi todistetaan säännöllisyystuloksen paranneltu versio, joka kertoo harmonisen funktion olevan analyyttinen eli jonkin pisteen ympärillä esitettävissä suppenevana potenssisarjana. Harmonisten funktioiden ominaisuuksien jälkeen tutkielmassa perehdytään todennäköisyysteoriaan ja erityisesti martingaaliteoriaan. Ensin tutustutaan stokastiikan esitietoihin ja määritellään martingaali ja pysäytysaika. Niiden jälkeen todistetaan optionaalisen pysäyttämisen lause, jonka mukaan martingaalin odotusarvot ovat yhtä suuret aloitus- ja pysäytyshetkellä. Tutkielman lopuksi esitellään harmonisen funktion keskiarvoperiaatetta muistuttava dynaamisen ohjelmoinnin periaate, jolle etsitään ratkaisufunktio siten, että se saavuttaa annetun reuna-arvofunktion. Lisäksi näytetään löydetyn ratkaisufunktion olevan pallossa tapahtuvan satunnaiskävelyn odotusarvo.