University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset

Thumbnail
View/Open
4.1Mb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Karttunen, Hanna-Kaisa
Date
2014
Discipline
MatematiikkaMathematics

 
Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. Harmonisten funktioiden määrittämiseen voidaan käyttää Cauchy-Riemannin yhtälöitä. Harmoniset funktioit ovat yhteydessä analyyttisiin funktioihin, sillä harmonisten funktioiden avulla voidaan selittää analyyttisten kuvausten teoriaa ja päinvastoin. Tämän tutkielman kannalta tärkeimpiä analyyttisiä kuvauksia ovat injektiiviset kuvaukset, jotka tunnetaan myös konformikuvauksina. Konformikuvaukset ovat alueiden välisiä kuvauksia, jotka säilyttävät kulmien suuruuden ja suunnan ja joiden derivaatta on äärellinen ja nollasta eroava. Harmonisten funktioiden ja konformikuvausten välillä on monia tärkeitä yhteyksiä. Esimerkiksi, jos harmoniselle funktiolle tehdään konforminen muuttujanvaihto, niin myös tuloksena saatu funktio on harmoninen. Tutkielman motivaationa on oppia ratkaisemaan Dirichlet'n ongelma erityisesti puolitasossa, kiekossa ja monikulmiossa. Dirichlet'n ongelma määritellään usein sellaisessa alueessa, jossa se on vaikea ratkaista. Siten tavoitteena on löytää analyyttinen kuvaus monimutkaisesta alueesta yksinkertaisempaan alueeseen, jossa ongelma on ratkaistavissa. Tällainen analyyttinen kuvaus löydetään tunnettujen konformikuvausten joukosta tai se ratkaistaan esimerkiksi lineaaristen rationaalikuvausten tai Schwarz-Christoffelin kaavan avulla. Puolitasossa ja yksikkökiekossa ongelman ratkaisemiseen voidaan soveltaa Poissonin integrointikaavoja. Dirichlet'n ongelman ratkaiseminen noudattaa neljän vaiheen ratkaisumenetelmää. ...
Keywords
harmoninen funktio konformikuvaus Laplacen yhtälö Cauchy-Riemannin yhtälöt analyyttinen funktio Dirichlet'n ongelma lineaarinen rationaalikuvaus Schwarz-Christoffelin kaava Poissonin integrointikaava funktiot analyyttiset funktiot funktioteoria yhtälöt
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201501271190

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [23396]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat 

    Hakavuori, Eero (2014)
    Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin ...
  • Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot 

    Haasianlahti, Ivar (2019)
    Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi ...
  • Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla 

    Kauppinen, Jussi (2020)
    Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ...
  • Eulerin summia 

    Kaskela, Kai (2014)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella menetelmiä joilla voidaan laskea niin kutsuttuja Eulerin summia. Eulerin summia ovat Riemannin zeeta-funktion arvoja parillisissa ja positiivisissa kokonaislukupisteissä. Vaikka ...
  • Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia 

    Jäntti, Pasi (2019)
    Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre