Harmoniset funktiot ja satunnaiskävely
Authors
Date
2023Copyright
© The Author(s)
Tämän tutkielman ensimmäisessä kokonaisuudessa tarkoituksena on tutustua harmonisiin funktioihin ja niiden ominaisuuksiin. Niistä keskeinen on harmonisen funktion keskiarvoperiaate. Toisessa kokonaisuudessa tarkastellaan todennäköisyysteoriaa ja harmonisen funktion yhteyttä pallossa tapahtuvaan satunnaiskävelyyn. Tutkielman alussa tutustutaan Laplacen yhtälöön, jonka avulla harmoniset funktiot määritellään. Erityisesti tarkastellaan sen fysikaalista tulkintaa ja johdetaan perusratkaisu. Seuraavaksi esitellään kolme harmonisen funktion ominaisuutta. Näistä harmonisen funktion keskiarvoperiaate kertoo harmonisen funktion saavan pallon keskipisteessä yhtä suuren arvon sekä pallon pinnalla olevien arvojen keskiarvon että pallon sisällä olevien arvojen keskiarvon kanssa. Keskiarvoperiaatteesta seuraa, että harmoniset funktiot ovat säännöllisiä eli äärettömän monta kertaa jatkuvasti differentioituvia. Lisäksi todistetaan säännöllisyystuloksen paranneltu versio, joka kertoo harmonisen funktion olevan analyyttinen eli jonkin pisteen ympärillä esitettävissä suppenevana potenssisarjana. Harmonisten funktioiden ominaisuuksien jälkeen tutkielmassa perehdytään todennäköisyysteoriaan ja erityisesti martingaaliteoriaan. Ensin tutustutaan stokastiikan esitietoihin ja määritellään martingaali ja pysäytysaika. Niiden jälkeen todistetaan optionaalisen pysäyttämisen lause, jonka mukaan martingaalin odotusarvot ovat yhtä suuret aloitus- ja pysäytyshetkellä. Tutkielman lopuksi esitellään harmonisen funktion keskiarvoperiaatetta muistuttava dynaamisen ohjelmoinnin periaate, jolle etsitään ratkaisufunktio siten, että se saavuttaa annetun reuna-arvofunktion. Lisäksi näytetään löydetyn ratkaisufunktion olevan pallossa tapahtuvan satunnaiskävelyn odotusarvo.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28201]
License
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Köydenvetopeli satunnaiskohinalla ja p-Laplacen yhtälö
Taipalus, Janne (2023)Tässä tutkielmassa tutustumme köydenvetopeliin satunnaiskohinalla. Kyseinen peli on kahden pelaajan stokastinen peli, jossa kukin pelaaja yrittää saavuttaa alueen reunan sellaisesta kohdasta, joka on hänelle edullinen. ... -
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Harnack-funktiot ja Picardin lause
Rautiainen, Arja (2008) -
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Stokastinen reunasäännöllisyys ja häiritty köydenvetopeli
Heino, Joonas (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on tutkia Dirichlet'n ongelmaa todennäköisyysteorian ja peliteorian näkökulmasta. Osoittautuu, että käytössä olevan alueen reuna vaikuttaa siihen, onko olemassa Dirichlet'n ongelman ratkaisevaa ...