Show simple item record

dc.contributor.advisorParviainen, Mikko
dc.contributor.authorUusitalo, Susanna
dc.date.accessioned2023-10-26T06:04:42Z
dc.date.available2023-10-26T06:04:42Z
dc.date.issued2023
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/90669
dc.description.abstractTämän tutkielman ensimmäisessä kokonaisuudessa tarkoituksena on tutustua harmonisiin funktioihin ja niiden ominaisuuksiin. Niistä keskeinen on harmonisen funktion keskiarvoperiaate. Toisessa kokonaisuudessa tarkastellaan todennäköisyysteoriaa ja harmonisen funktion yhteyttä pallossa tapahtuvaan satunnaiskävelyyn. Tutkielman alussa tutustutaan Laplacen yhtälöön, jonka avulla harmoniset funktiot määritellään. Erityisesti tarkastellaan sen fysikaalista tulkintaa ja johdetaan perusratkaisu. Seuraavaksi esitellään kolme harmonisen funktion ominaisuutta. Näistä harmonisen funktion keskiarvoperiaate kertoo harmonisen funktion saavan pallon keskipisteessä yhtä suuren arvon sekä pallon pinnalla olevien arvojen keskiarvon että pallon sisällä olevien arvojen keskiarvon kanssa. Keskiarvoperiaatteesta seuraa, että harmoniset funktiot ovat säännöllisiä eli äärettömän monta kertaa jatkuvasti differentioituvia. Lisäksi todistetaan säännöllisyystuloksen paranneltu versio, joka kertoo harmonisen funktion olevan analyyttinen eli jonkin pisteen ympärillä esitettävissä suppenevana potenssisarjana. Harmonisten funktioiden ominaisuuksien jälkeen tutkielmassa perehdytään todennäköisyysteoriaan ja erityisesti martingaaliteoriaan. Ensin tutustutaan stokastiikan esitietoihin ja määritellään martingaali ja pysäytysaika. Niiden jälkeen todistetaan optionaalisen pysäyttämisen lause, jonka mukaan martingaalin odotusarvot ovat yhtä suuret aloitus- ja pysäytyshetkellä. Tutkielman lopuksi esitellään harmonisen funktion keskiarvoperiaatetta muistuttava dynaamisen ohjelmoinnin periaate, jolle etsitään ratkaisufunktio siten, että se saavuttaa annetun reuna-arvofunktion. Lisäksi näytetään löydetyn ratkaisufunktion olevan pallossa tapahtuvan satunnaiskävelyn odotusarvo.fi
dc.format.extent49
dc.language.isofi
dc.subject.otherLaplacen yhtälö
dc.subject.otherharmoniset funktiot
dc.subject.othermartingaaliteoria
dc.subject.othersatunnaiskävely
dc.titleHarmoniset funktiot ja satunnaiskävely
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-202310266698
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysofunktiot
dc.subject.ysotodennäköisyyslaskenta


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record