Stokastinen reunasäännöllisyys ja häiritty köydenvetopeli

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutkia Dirichlet'n ongelmaa todennäköisyysteorian ja peliteorian näkökulmasta. Osoittautuu, että käytössä olevan alueen reuna vaikuttaa siihen, onko olemassa Dirichlet'n ongelman ratkaisevaa funktiota, joka saavuttaa oikeat reuna-arvot jatkuvasti. Tutkielmassa määritellään joukon reunasäännöllisyys jatkuva-aikaisen satunnaisliikkeen avulla. Käyttökelpoinen ja riittävä ehto reunapisteen säännöllisyydelle on Poincarén kartioehto. Tässä työssä näytetään myös Wienerin kriteerio, joka on riittävä ja välttämätön ehto reunapisteen säännöllisyydelle.

Tutkielmassa käsitellään myös p-Laplacen yhtälöä käyttäen apuna häirittyä köydenvetopeliä (tug-of-war with noise). Häiritty köydenvetopeli on kahden pelaajan nollasummapeli. Pelaajien arvofunktiot häirityssä köydenvetopelissä kertovat parhaan mahdollisen odotettavissa olevan tuloksen, pelasi toinen pelaajista kuinka hyvin tahansa. Tässä työssä näytetään häirityn köydenvetopelin arvofunktioiden yhteys p-harmonisiin funktioihin. Lyhenevän askelpituuden häiritty köydenvetopeli on köydenvetopelin variaatio, jonka avulla voidaan myös tutkia reunasäännöllisyyttä ja reunafunktioiden resolutiivisuutta.