Moniulotteinen Riemannin integraali

Abstract

Tässä tutkielmassa tutustutaan moniulotteiseen Riemannin integraaliin ja sen taustalla oleviin lauseisiin ja todistuksiin. Riemannin integraali saadaan Darboux’n summien raja-arvona integrointivälin jakoa tihennettäessä, jos raja-arvo on olemassa. Arkhimedes-Riemann lause esittelee Arkhimedeen ja kokokoelmat, joiden ominaisuus on, että Darboux’n ylä- ja alasummat suppenevat kohti samaa arvoa. Rajoitettu funktio on integroituva jos ja vain jos sillä on Arkhimedeen jakokokoelma. Arkhimedes-Riemann lause on tärkeä tutkielman muiden lauseiden todistamisen kannalta. Joukon ollessa korkeampiulotteisen avaruuden osajoukko, joukon tutkimiseen tarvitaan n-ulotteisia välejä. Kun integroitava joukko on n-väli, voidaan se jakaa pienemmiksi väleiksi. Yleisempi alue ei ole valmiiksi väli, joten siitä täytyy tehdä väli nollajatkeen avulla. Nollajatke tarkoittaa, että funktio saa arvon nolla kyseisen rajoitetun joukon ulkopuolella. Kuitenkin tällöin myös joukon reunan tutkiminen tulee tarpeelliseksi. Jatkuvat funktiot ovat integroituvia yli Jordan-alueiden, koska Jordan-alueen reunalla on nollasisältö. Fubinin lauseen avulla moniulotteinen integraali saadaan palautettua yksiulotteiseksi iteroimalla. Fubinin lause on tutkielman päätulos. Fubinin lauseen avulla Riemannin integraalia voidaan hyödyntää fysiikan ja muidenkin alojen sovelluksissa.