Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sisältöön ja Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä ja tason joukossa, joita käytetään muun muassa tutkittaessa funktion Riemann-\hskip0pt integroituvuutta. Tutkielmassa tutustutaan Jordanin sisä- ja ulkosisällön sekä Lebesguen ulkomitan tärkeimpiin ominaisuuksiin sekä niiden väliseen yhteyteen. Lisäksi käsitellään Jordanin ja Lebesguen ehdot funktion Riemann-integroituvuudelle.

Tutkielman aluksi kerrataan analyysin perusteista reaaliakselin välin Riemannin integraali sekä mitta- ja integraaliteorian käsite nollamittaisuus, jotka ovat tutkielman kannalta tärkeitä asioita. Lisäksi tutustutaan funktion oskillaatioon eli funktion arvojen heilahteluun reaaliakselin välillä. Tämä on keskeisessä asemassa tutkittaessa Riemann-integroituvuutta Jordanin ulkosisällön avulla. Jordanin kriteerissä tutkitaan joukkoa, jossa funktion oskillaatio kasvaa suuremmaksi tai on yhtä suuri kuin annettu luku $\epsilon$. Funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos tämä joukko on nollamittainen. Lisäksi tutustutaan Lebesguen ulkomittaan ja sen ominaisuuksiin sekä Lebesguen ehtoon Riemann-integroituvuudelle. Lebesguen ehdon mukaan funktio on Riemann-integroituva jos ja vain jos epäjatkuvuuspisteiden joukon Lebesguen ulkomitta on nolla. Esimerkit ja kuvat havainnollistavat mitä hyötyä Jordanin sisä- ja ulkosisällöstä sekä Lebesguen ulkomitasta on käytännössä.

Tutkielman lopuksi tutustutaan vastaaviin asioihin kuin ensimmäisessä luvussa, mutta reaaliakselin välin sijasta tutkitaan asioita tason joukossa.