Moniulotteinen Riemannin integraali
Tekijät
Päivämäärä
2023Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä tutkielmassa tutustutaan moniulotteiseen Riemannin integraaliin ja
sen taustalla oleviin lauseisiin ja todistuksiin. Riemannin integraali saadaan
Darboux’n summien raja-arvona integrointivälin jakoa tihennettäessä, jos
raja-arvo on olemassa. Arkhimedes-Riemann lause esittelee Arkhimedeen ja kokokoelmat, joiden ominaisuus on, että Darboux’n ylä- ja alasummat suppenevat kohti samaa arvoa. Rajoitettu funktio on integroituva jos ja vain jos
sillä on Arkhimedeen jakokokoelma. Arkhimedes-Riemann lause on tärkeä
tutkielman muiden lauseiden todistamisen kannalta.
Joukon ollessa korkeampiulotteisen avaruuden osajoukko, joukon tutkimiseen tarvitaan n-ulotteisia välejä. Kun integroitava joukko on n-väli, voidaan
se jakaa pienemmiksi väleiksi. Yleisempi alue ei ole valmiiksi väli, joten siitä
täytyy tehdä väli nollajatkeen avulla. Nollajatke tarkoittaa, että funktio saa
arvon nolla kyseisen rajoitetun joukon ulkopuolella.
Kuitenkin tällöin myös joukon reunan tutkiminen tulee tarpeelliseksi. Jatkuvat funktiot ovat integroituvia yli Jordan-alueiden,
koska Jordan-alueen reunalla on nollasisältö.
Fubinin lauseen avulla moniulotteinen integraali saadaan palautettua yksiulotteiseksi iteroimalla. Fubinin lause on tutkielman päätulos. Fubinin lauseen avulla Riemannin integraalia voidaan hyödyntää fysiikan ja muidenkin
alojen sovelluksissa.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28143]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Bochner-integraali ja Radon-Nikodym -ominaisuus
Miettinen, Jani (2022)Tutkielma tarkastelee Banach-avaruuksien vektoriarvoista Bochner-integraalia. Integraali määritellään yksinkertaisille kuvauksille Lebesgue-integraalia ja avaruuden täydellisyyttä käyttäen. Tämän jälkeen tutustutaan ... -
Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Lehtonen, Taru (2016)Tutkielmassa tarkastellaan ensin Riemannin integraalia ja sen ongelmia rajankäyntitilanteissa. Suurin ongelma rajankäynnissä on, että Riemannintegraalien jonon raja-arvo ei välttämättä aina ole sama kuin rajafunktion Rie ... -
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ... -
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ... -
Hyperreaaliluvut
Pienimäki, Santtu (2017)Hyperreaaliluvut ovat reaalilukujen joukon laajennus, jossa on olemassa äärettömän pieniä ja suuria lukuja. Hyperreaalilukuja käytetään differentiaali- ja integraalilaskennassa. Metodi on suosittu erityisesti fyysikoiden ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.