Hilbertin avaruudet

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija Hilbertin avaruuksiin ja niiden hyödyllisyyteen ääretönulotteisen vektoriavaruuden tarkastelussa. Äärellisulotteisesta lineaarialgebrasta tuttu tulos, projektiolause, yleistetään tutkielmassa ääretönulotteiseen tilanteeseen. Hilbertin avaruuksien hyödyllisyys tulee esiin, kun huomataan, että projektiolause yleistuu ääretönulotteisessa tilanteessa vain täydellisille sisätuloavaruuksille eli Hilbertin avaruuksille. Projektiolauseen avulla päästään tutustumaan Hilbertin kannan ominaisuuksiin. Zornin lemman avulla osoitetaan, että jokaisella Hilbertin avaruudella on olemassa ortonormaali kanta.