Hilbertin avaruudet ja kompaktit operaattorit
Authors
Date
2020Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä työssä tutkitaan Hilbertin avaruuksia, kompakteja operaattoreita Hilbertin avaruuksissa ja sitä, miten kompaktien operaattoreiden avulla on mahdollista muodostaa kanta Hilbertin avaruudelle. Kompakteilla operaattoreilla tarkoitetaan rajoitettuja lineaarikuvauksia, jotka kuvaavat jokaisen rajoitetun jonon sellaiseksi, että sen kuvajoukosta löytyy osajono, joka suppenee. Tavallisesti äärellisulotteiselle sisätuloavaruudelle saadaan muodostettua kanta Hermiten operaattoreiden avulla, mutta ääretönulotteisen Hilbertin avaruuden tapauksessa lähes täysin vastaava teoria löytyy kompakteista operaattoreista. Pääasiassa Hilbertin avaruuden kannan löytämiseksi riittää löytää kompakti operaattori avaruudesta, jolloin kannan muodostavat ne avaruuden alkiot, jotka operaattori kuvaa samaksi alkioksi jollain reaaliluvulla kerrottuna.
Tutkielma koostuu neljästä osasta, joista ensimmäisessä tutustutaan Hilbertin avaruuteen ja sen rakenteeseen, toisessa osassa tutkitaan kompakteja operaattoreita yleisessä Hilbertin avaruudessa ja osoitetaan, että yleiselle Hilbertin avaruudelle on mahdollista muodostaa kanta kompaktien operaattoreiden avulla. Kolmannessa osassa määritellään Sobolev-avaruudet ja tarkastellaan niiden yhteyttä Hilbertin avaruuksiin ja neljännessä osassa tutkitaan divergenssimuotoisia yhtälöitä erityisesti sellaisissa avaruuksissa jotka ovat sekä Hilbertin avaruuksia, että Sobolev-avaruuksia.
Tutkielman päätuloksena osoitetaan, että tiettyjen divergenssimuotoisten yhtälöiden ratkaisut ovat kompakteja operaattoreita ja edelleen näiden avulla on mahdollista muodostaa koko avaruudelle kanta. Lopuksi osoitetaan, että tällä edellä mainitulla menetelmällä on mahdollista ratkaista helposti niin sanottu lämpöyhtälö, joka kuvaa keskimääräistä lämmön jakautumista kappaleessa tietyllä ajanhetkellä.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29533]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Vektoriavaruudet ja niiden representaatiot
Hietala, Roope (2022)Tässä työssä tutkitaan erilaisia representaatioita vektoriavaruuksille sekä Hilbertin avaruuden rakennetta. Hilbertin avaruudet ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia, jotka ovat yleistys euklidiselle avaruudelle. Tavoitteena ... -
Spectral theory for unbounded self-adjoint operators
Penttala, Jani (2023)Tässä tutkielmassa keskitytään rajoittamattomien itseadjungoitujen operaattorien spektraaliteoriaan. Tutkielman päätulos on tällaisten operattorien spektraalilause, jonka mukaan mikä tahansa rajoittamaton itseadjungoitu ... -
Hilbertin avaruudet
Virtanen, Ida (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija Hilbertin avaruuksiin ja niiden hyödyllisyyteen ääretönulotteisen vektoriavaruuden tarkastelussa. Äärellisulotteisesta lineaarialgebrasta tuttu tulos, projektiolause, ... -
Mathematical thinking and understanding in learning of mathematics
Joutsenlahti, Jorma; Perkkilä, Päivi (LUMA Centre Finland, 2022)The concept “mathematical thinking” can be found in several studies of mathematics education, in national curricula or in media during the decades all over the world. We searched words “mathematical thinking” from the ... -
Teaching Early Mathematical Skills to 3- to 7-Year-Old Children : Differences Related to Mathematical Skill Category, Children’s Age Group and Teachers’ Characteristics
Parviainen, Piia; Eklund, Kenneth; Koivula, Merja; Liinamaa, Tarja; Rutanen, Niina (Springer, 2023)This study explored teaching early mathematical skills to 3- to 7-year-old children in early childhood education and care (ECEC) and pre-primary education. Teachers in ECEC (N = 206) answered a web survey. The first aim ...