Schnirelmannin lause

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on esittää todistus neuvostoliittolaisen matemaatikon Lev Schnirelmannin 1930-luvun alussa osoittamalle tulokselle, jonka mukaan on olemassa sellainen luku S, että jokainen ykköstä suurempi luonnollinen luku voidaan esittää alkulukujen summana, jossa summattavia on korkeintaan S kappaletta. Schnirelmannin lause on merkittävä additiivisen lukuteorian tulos, sillä sen avulla päästiin lähemmäksi yhtä lukuteorian ratkaisematonta ongelmaa, Goldbachin konjektuuria. Työn alussa osoitetaan alkulukujen tiheyteen liittyvät Mertensin lauseet, joita tarvitaan Schnirelmannin lauseen todistamiseen. Mertensin lauseista ensimmäinen kertoo, miten lukua x pienempien alkulukujen käänteislukujen 1/p summa käyttäytyy, kun x kasvaa rajatta. Mertensin toinen lause puolestaan kertoo saman lukujen (1-1/p) tulolle. Schnirelmannin lauseeseen liittyvät olennaisesti seulamenetelmät, joilla voidaan arvioida kokoa positiivisista kokonaisluvuista koostuvalle, tietyt ehdot täyttävälle seulotulle joukolle. Yleinen ongelma, johon seuloja hyödynnetään, on muotoa: Jos A on äärellinen joukko positiivisia kokonaislukuja ja P äärellinen joukko alkulukuja, niin kuinka paljon on sellaisia joukon A alkioita, jotka eivät ole jaollisia millään alkuluvulla joukosta P? Seulamenetelmien yleisen idean lisäksi työssä tutustutaan tarkemmin norjalaisen matemaatikon Viggo Brunin kehittämään seulaan, jota hyödyntämällä saadaan osoitettua muutama Schnirelmannin lauseen todistamiseen tarvittava aputulos. Nämä tulokset liittyvät siihen, kuinka monella eri tavalla luonnollinen luku voidaan esittää kahden alkuluvun summana. Työn tärkeimpiä käsitteitä on Schnirelmannin tiheys, jolla voidaan mitata luonnollisten lukujen osajoukon kokoa. Työssä käydään läpi Schnirelmannin tiheyden ominaisuuksia ja osoitetaan tulos, jonka avulla voidaan arvioida Schnirelmannin tiheyttä joukkojen summalle. Lisäksi osoitetaan, että jokainen epänegatiivisista kokonaisluvuista koostuva joukko A, joka sisältää nollan ja jonka Schnirelmannin tiheys on positiivinen, on jonkin kertaluvun kanta epänegatiivisten kokonaislukujen joukolle. Tällä tarkoitetaan sitä, että on olemassa luonnollinen luku h siten, että jokainen epänegatiivinen kokonaisluku voidaan esittää sellaisena joukon A alkioiden summana, jossa summattavia on h kappaletta. Tätä tulosta hyödyntäen esitetään lopuksi todistus Schnirelmannin lauseelle.