Fermat'n suuren lauseen erikoistapauksia

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on perehtyä Fermat'n suuren lauseen todistuksen syntyyn ja etenkin muutamiin lauseen yksinkertaisimpiin erityistapauksiin. Fermat'n suuren lauseen mukaan ei ole olemassa kokonaislukuja x, y ja z, jotka toteuttavat yhtälön x^n + y^n = z^n,

kun n on lukua 2 suurempi luonnollinen luku. Vaikka lause on nimetty 1600-luvulla eläneen Pierre de Fermat'n mukaan, ulottuvat sen juuret tuhansien vuosien päähän Fermat'ta edeltävään aikaan. Fermat'n suuri lause onnistuttiin myös lopulta todistamaan vasta satojen vuosien kuluttua siitä, kun Fermat oli tämän väittämän esittänyt. Andrew Wiles yhdisti lopullisessa todistuksessa onnistuneesti vuosisatojen varrella kehittyneitä tuloksia monilta eri matematiikan aloilta ja lauseen todistaminen vaati häneltä seitsemän vuoden yhtäjaksoisen työn.

Tässä tutkielmassa otetaan katsaus Fermat'n suuren lauseen historiaan ja todistetaan lauseen paikkaansapitävyys tapauksissa n=4 ja n=3. Tapauksen n=4 todistus pohjautuu jo Fermat'n käyttämään äärettömän laskeutumisen menetelmään, kun taas tapaus n=3 on todistettu Eulerin laatiman todistuksen pohjalta.

Eulerin todistuksessa tapaukselle n=3 hyödynnetään Gaussin resiprookkilakia. Jos p ja q ovat erisuuria parittomia alkulukuja ja tiedetään, onko q neliönjäännös vai neliönepäjäännös modulo p, niin Gaussin resiprookkilaki kertoo, onko p tällöin neliönjäännös vai neliönepäjäännös modulo q. Tämä resiprookkilain sisältö saadaan esitettyä suoraviivaisemmin Legendren symbolia hyödyntäen ja ennen lain todistamista todistetaan aputuloksina muun muassa Eulerin kriteeri sekä Gaussin lemma.