On the uniqueness of a solution and stability of McKean-Vlasov stochastic differential equations
Tekijät
Päivämäärä
2020Tekijänoikeudet
Julkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.
Tässä tutkielmassa tutustutaan McKeanin-Vlasovin stokastisiin differentiaaliyhtälöihin, jotka yleistävät tavalliset stokastiset differentiaaliyhtälöt lisäämällä kerroinfunktioihin riippuvuuden tuntemattoman prosessin jakaumasta tietyllä ajanhetkellä. Pääasiallisena lähteenä seurataan K. Bahlalin, M. Mezerdin ja B. Mezerdin artikkelia \textit{Stability of Mckean-Vlasov stochastic differential equations and applications}.
Tutkielmassa käydään läpi tarvittavia esitietoja todennäköisyysteoriasta ja tavallisista stokastisista differentiaaliyhtälöistä. Kerroinfunktioiden jatkuvuuden ja mitallisuuden määrittämiseksi esitellään Wassersteinin etäisyys, joka on metriikka äärellismomenttisten reaaliavaruuden todennäköisyysmittojen avaruudessa. Metriikan avulla saadaan yleistettyä lause, joka takaa ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden, kun kerroinfunktiot ovat Lipschitz-jatkuvia ja toteuttavat lineaarisen kasvuehdon. Lisäksi osoitetaan, että yksikäsitteisyys on voimassa eräällä Lipschitz-jatkuvuutta heikommalla ehdolla.
Numeerisessa ratkaisemisessa voidaan hyödyntää tulosta, jossa konstruoidaan iteroitu jono prosesseja, jotka suppenevat kohti yksikäsitteistä ratkaisua. Lopuksi tarkastellaan ratkaisuprosessien stabiiliutta erikseen alkuarvon, kerroinfunktioiden ja integroivan prosessin suhteen.
...
In this thesis we introduce McKean-Vlasov stochastic differential equations, which are a generalization of ordinary stochastic differential equations, but now the coefficients depend on the distribution of the unknown process. In our main results we follow K. Bahlali, M. Mezerdi and B. Mezerdi's article \textit{Stability of Mckean-Vlasov stochastic differential equations and applications}.
We start by giving preliminary theory required to understand our main results. To define continuity and measurability of the coefficient functions, we introduce the Wasserstein distance, which is a metric in the space of probability measures on the real line with finite moments. With the metric we generalize a theorem that states that a unique solution exists provided that the coefficients are Lipschitz continuous and satisfy the linear growth condition. In addition we show that in a specific case the uniqueness holds even if the coefficients satisfy a condition weaker than Lipschitz continuity.
In numerics one can use a result that provides a way to approximate the solution with a sequence of iterated processes converging to the unique solution. In the last part we consider stability of the solution with respect to the initial value, the coefficients and the driving process.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [29524]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Markov chain backward stochastic differential equations in modeling insurance policy
Hänninen, Henri (2022)Tässä tutkielmassa tarkastelemme henkivakuutuksen varantoa. Mallinnamme henkivakuutusta Markovin prosessin avulla, ja varannon määrittelyyn ja mallintamiseen käytämme Markovin ketju BSDE:itä (Markovin ketju takaperoinen ... -
On Malliavin calculus and approximation of stochastic integrals for Lévy processes
Laukkarinen, Eija (University of Jyväskylä, 2012) -
Conditional convex orders and measurable martingale couplings
Leskelä, Lasse; Vihola, Matti (International Statistical Institute; Bernoulli Society for Mathematical Statistics and Probability, 2017)Strassen’s classical martingale coupling theorem states that two random vectors are ordered in the convex (resp. increasing convex) stochastic order if and only if they admit a martingale (resp. submartingale) coupling. By ... -
Hölder regularity for stochastic processes with bounded and measurable increments
Arroyo, Ángel; Blanc, Pablo; Parviainen, Mikko (European Mathematical Society - EMS - Publishing House GmbH, 2023)We obtain an asymptotic Hölder estimate for expectations of a quite general class of discrete stochastic processes. Such expectations can also be described as solutions to a dynamic programming principle or as solutions ... -
On Decoupling in Banach Spaces
Cox, Sonja; Geiss, Stefan (Springer, 2021)We consider decoupling inequalities for random variables taking values in a Banach space X. We restrict the class of distributions that appear as conditional distributions while decoupling and show that each adapted process ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.