On the uniqueness of a solution and stability of McKean-Vlasov stochastic differential equations

Tässä tutkielmassa tutustutaan McKeanin-Vlasovin stokastisiin differentiaaliyhtälöihin, jotka yleistävät tavalliset stokastiset differentiaaliyhtälöt lisäämällä kerroinfunktioihin riippuvuuden tuntemattoman prosessin jakaumasta tietyllä ajanhetkellä. Pääasiallisena lähteenä seurataan K. Bahlalin, M. Mezerdin ja B. Mezerdin artikkelia \textit{Stability of Mckean-Vlasov stochastic differential equations and applications}. Tutkielmassa käydään läpi tarvittavia esitietoja todennäköisyysteoriasta ja tavallisista stokastisista differentiaaliyhtälöistä. Kerroinfunktioiden jatkuvuuden ja mitallisuuden määrittämiseksi esitellään Wassersteinin etäisyys, joka on metriikka äärellismomenttisten reaaliavaruuden todennäköisyysmittojen avaruudessa. Metriikan avulla saadaan yleistettyä lause, joka takaa ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden, kun kerroinfunktiot ovat Lipschitz-jatkuvia ja toteuttavat lineaarisen kasvuehdon. Lisäksi osoitetaan, että yksikäsitteisyys on voimassa eräällä Lipschitz-jatkuvuutta heikommalla ehdolla. Numeerisessa ratkaisemisessa voidaan hyödyntää tulosta, jossa konstruoidaan iteroitu jono prosesseja, jotka suppenevat kohti yksikäsitteistä ratkaisua. Lopuksi tarkastellaan ratkaisuprosessien stabiiliutta erikseen alkuarvon, kerroinfunktioiden ja integroivan prosessin suhteen.