Show simple item record

dc.contributor.advisorKoskela, Pekka
dc.contributor.authorJäntti, Pasi
dc.date.accessioned2019-06-25T07:39:24Z
dc.date.available2019-06-25T07:39:24Z
dc.date.issued2019
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/64831
dc.description.abstractTässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka mukaan jokaisen kahden yhdesti yhtenäisen alueen välillä on olemassa konformikuvaus. Konformikuvaukset ovat funktioita, jotka säilyttävät kulmien suuruudet ja suunnat. Konformisuus linkittyy vahvasti yhteen funktion kompleksisen derivaatan käytökseen. Tutkielmassa osoitetaan, että holomor fiset injektiot tai holomor fiset funktiot, joiden derivaatta ei häviä, ovat konformikuvauksia. Möbius-kuvaukset ovat tärkeä konformikuvausten alaluokka. Möbius-kuvaukset koostuvat siirroista, skaalauksista, kierroista ja inversiosta. Jotta inversiokuvaus olisi hyvin määritelty kaikissa kompleksitason pisteissä, tutkielmassa esitellään laajennetun kompleksitason käsite. Laajennetun kompleksitason ja yksikköpallon reunan välillä osoitetaan olevan homeomorfi nen kuvaus, jolloin äärettömyyspisteet ovat hyvin määriteltyjä. Riemannin kuvauslause on olemassaolotulos, joka ei kerro miten konformikuvauksen voi käytännössä konstruoida. Tutkielmassa käydään läpi monia esimerkkejä, miten eri alueiden välille voidaan löytää konformikuvaus. Esimerkeissä konkretisoituvat konformikuvausten geometriset ominaisuudet, joissa havaitaan erityisesti Möbius-kuvausten hyödyllisyys. Riemannin kuvauslauseen nojalla tiedetään, että on olemassa konformikuvaus ylemmältä puolitasolta itseään leikkaamattoman n-monikulmion sisukseksi. Tutkielmassa johdetaan intuitiivisesti miten tämän kuvauksen voi konstruoida sekä annetaan kuvaukselle tarkka kaava, joka tunnetaan yleisemmin nimellä Schwarz-Christoffelin kaava. Schwarz-Christoffelin kaava on monimutkainen ja sen käyttöön liittyy rajoituksia, joita pyritään avaamaan yksinkertaisten esimerkkien kautta. Tiedetään, että mikäli alue ei ole yhdesti yhtenäinen, niin tällöin ei ole olemassa surjektiivista konformikuvausta yksikkökiekolle. Osoittautuu kuitenkin, että tietyllä tavalla konstruoitu alue voidaan kuvata 3-valentisti ja lokaalisti konformisesti yksikkökiekoksi. Tämän tuloksen ovat todistaneet Victor V. Starkov ja Piotr Liczberski. Tutkielman yhtenä päätuloksena mukaillaan kyseisestä tuloksesta erikoistapaus ja annetaan sille todistus.fi
dc.format.extent49
dc.format.mimetypeapplication/pdf
dc.language.isofi
dc.subject.otherkonformikuvaukset
dc.titleKonformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-201906253416
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.type.publicationmasterThesis
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysofunktiot
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysoanalyyttiset funktiot
dc.subject.ysokompleksiluvut
dc.subject.ysokompleksifunktiot
dc.format.contentfulltext
dc.type.okmG2


Files in this item

Thumbnail

This item appears in the following Collection(s)

Show simple item record