University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia

Thumbnail
View/Open
802.6 Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Jäntti, Pasi
Date
2019
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka mukaan jokaisen kahden yhdesti yhtenäisen alueen välillä on olemassa konformikuvaus. Konformikuvaukset ovat funktioita, jotka säilyttävät kulmien suuruudet ja suunnat. Konformisuus linkittyy vahvasti yhteen funktion kompleksisen derivaatan käytökseen. Tutkielmassa osoitetaan, että holomor fiset injektiot tai holomor fiset funktiot, joiden derivaatta ei häviä, ovat konformikuvauksia. Möbius-kuvaukset ovat tärkeä konformikuvausten alaluokka. Möbius-kuvaukset koostuvat siirroista, skaalauksista, kierroista ja inversiosta. Jotta inversiokuvaus olisi hyvin määritelty kaikissa kompleksitason pisteissä, tutkielmassa esitellään laajennetun kompleksitason käsite. Laajennetun kompleksitason ja yksikköpallon reunan välillä osoitetaan olevan homeomorfi nen kuvaus, jolloin äärettömyyspisteet ovat hyvin määriteltyjä. Riemannin kuvauslause on olemassaolotulos, joka ei kerro miten konformikuvauksen voi käytännössä konstruoida. Tutkielmassa käydään läpi monia esimerkkejä, miten eri alueiden välille voidaan löytää konformikuvaus. Esimerkeissä konkretisoituvat konformikuvausten geometriset ominaisuudet, joissa havaitaan erityisesti Möbius-kuvausten hyödyllisyys. Riemannin kuvauslauseen nojalla tiedetään, että on olemassa konformikuvaus ylemmältä puolitasolta itseään leikkaamattoman n-monikulmion sisukseksi. Tutkielmassa johdetaan intuitiivisesti miten tämän kuvauksen voi konstruoida sekä annetaan kuvaukselle tarkka kaava, joka tunnetaan yleisemmin nimellä Schwarz-Christoffelin kaava. Schwarz-Christoffelin kaava on monimutkainen ja sen käyttöön liittyy rajoituksia, joita pyritään avaamaan yksinkertaisten esimerkkien kautta. Tiedetään, että mikäli alue ei ole yhdesti yhtenäinen, niin tällöin ei ole olemassa surjektiivista konformikuvausta yksikkökiekolle. Osoittautuu kuitenkin, että tietyllä tavalla konstruoitu alue voidaan kuvata 3-valentisti ja lokaalisti konformisesti yksikkökiekoksi. Tämän tuloksen ovat todistaneet Victor V. Starkov ja Piotr Liczberski. Tutkielman yhtenä päätuloksena mukaillaan kyseisestä tuloksesta erikoistapaus ja annetaan sille todistus. ...
Keywords
konformikuvaukset funktiot matematiikka analyyttiset funktiot kompleksiluvut kompleksifunktiot
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201906253416

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [25543]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Harnack-funktiot ja Picardin lause 

    Rautiainen, Arja (2008)
  • Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot 

    Haasianlahti, Ivar (2019)
    Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi ...
  • Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla 

    Kauppinen, Jussi (2020)
    Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ...
  • Polynomikasvuiset kokonaiset funktiot 

    Saariaho, Ville-Matias (2022)
    Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan kompleksianalyysin keinoin polynomikasvuisia kokonaisia funktioita. Polynomikasvuisuus voidaan muotoilla tarkastelemalla funktion f modulia eli itseisarvoa. Jos ...
  • Konformikuvaukset 

    Törmälehto, Justus (2022)
    Tässä tutkielmassa perehdytään kompleksitason konformikuvauksiin. Kompleksisen kuvauksen konformisuus pisteessä tarkoittaa kahden sileän käyrän leikkauspisteen kulman säilymistä kuvauksessa. Konformikuvaukset ovat derivoituvia ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre