Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka mukaan jokaisen kahden yhdesti yhtenäisen alueen välillä on olemassa konformikuvaus. Konformikuvaukset ovat funktioita, jotka säilyttävät kulmien suuruudet ja suunnat. Konformisuus linkittyy vahvasti yhteen funktion kompleksisen derivaatan käytökseen. Tutkielmassa osoitetaan, että holomor fiset injektiot tai holomor fiset funktiot, joiden derivaatta ei häviä, ovat konformikuvauksia. Möbius-kuvaukset ovat tärkeä konformikuvausten alaluokka. Möbius-kuvaukset koostuvat siirroista, skaalauksista, kierroista ja inversiosta. Jotta inversiokuvaus olisi hyvin määritelty kaikissa kompleksitason pisteissä, tutkielmassa esitellään laajennetun kompleksitason käsite. Laajennetun kompleksitason ja yksikköpallon reunan välillä osoitetaan olevan homeomorfi nen kuvaus, jolloin äärettömyyspisteet ovat hyvin määriteltyjä. Riemannin kuvauslause on olemassaolotulos, joka ei kerro miten konformikuvauksen voi käytännössä konstruoida. Tutkielmassa käydään läpi monia esimerkkejä, miten eri alueiden välille voidaan löytää konformikuvaus. Esimerkeissä konkretisoituvat konformikuvausten geometriset ominaisuudet, joissa havaitaan erityisesti Möbius-kuvausten hyödyllisyys. Riemannin kuvauslauseen nojalla tiedetään, että on olemassa konformikuvaus ylemmältä puolitasolta itseään leikkaamattoman n-monikulmion sisukseksi. Tutkielmassa johdetaan intuitiivisesti miten tämän kuvauksen voi konstruoida sekä annetaan kuvaukselle tarkka kaava, joka tunnetaan yleisemmin nimellä Schwarz-Christoffelin kaava. Schwarz-Christoffelin kaava on monimutkainen ja sen käyttöön liittyy rajoituksia, joita pyritään avaamaan yksinkertaisten esimerkkien kautta.

Tiedetään, että mikäli alue ei ole yhdesti yhtenäinen, niin tällöin ei ole olemassa surjektiivista konformikuvausta yksikkökiekolle. Osoittautuu kuitenkin, että tietyllä tavalla konstruoitu alue voidaan kuvata 3-valentisti ja lokaalisti konformisesti yksikkökiekoksi. Tämän tuloksen ovat todistaneet Victor V. Starkov ja Piotr Liczberski. Tutkielman yhtenä päätuloksena mukaillaan kyseisestä tuloksesta erikoistapaus ja annetaan sille todistus.