Konformikuvaukset

Abstract

Tässä tutkielmassa perehdytään kompleksitason konformikuvauksiin. Kompleksisen kuvauksen konformisuus pisteessä tarkoittaa kahden sileän käyrän leikkauspisteen kulman säilymistä kuvauksessa. Konformikuvaukset ovat derivoituvia ja bijektiivisiä avoimen joukon kuvauksia, jotka säilyttävät kaikki kulmat. Tutkielmassa perehdytään erityisesti laajennetun tason konformikuvauksiin, eli Möbius-kuvauksiin, jotka koostuvat yksinkertaisista alkeismöbius-kuvauksista. Laajennettua kompleksitasoa voidaan havainnollistaa Riemannin pallon avulla. Möbius-kuvaukset voidaan muuttaa $2 \times 2$ matriiseiksi, jolloin niiden laskutoimitukset helpottuvat huomattavasti. Möbius-kuvausten ominaisuuksista käydään tässä tutkielmassa läpi kiintopiste sekä kaksoissuhde ja geometriselta kannalta tarkastellaan ympyröiden Möbius-kuvauksia. Möbius-kuvaus kuvaa kaikki kompleksitason ympyrät ympyröiksi tai ympyröiksi äärettömyyspisteen yli, eli suoriksi. Erilaisia kuvauksia on tässä työssä havainnollistettu kuvien avulla, joista osa on itse piirrettyjä.