University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot

Thumbnail
View/Open
990.9 Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Haasianlahti, Ivar
Date
2019
Discipline
Matematiikan opettajankoulutusTeacher education programme in Mathematics
Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.

 
Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi integroituva vektorikenttä tai analyyttinen kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. Tutkielman ytimessä ovat kysymykset tällaisten tieintegraalien häviämisestä. Analyyttisyyden ja lokaalin integroituvuuden määritelmät luovat pohjan Cauchyn lauseen neljälle versiolle, ja kukin näistä lauseista antaa ehdot, joiden vallitessa sekä analyyttisen funktion kompleksinen tieintegraali että lokaalisti integroituvan vektorikentän reaalinen tieintegraali (yli suljetun tien) ovat arvoltaan 0. Cauchyn lauseen versiot esitetään nousevassa järjestyksessä, eli jokainen versio on seuraajansa erikoistapaus. Ensimmäinen versio olettaa, että tien kuvajoukko määrittelee vyöhykkeen, eli riittävän "siistin" tason osajoukon. Toinen versio asettaa topologiset ehdot, joiden vallitessa lokaalisti integroituvalle kentälle voidaan konstruoida potentiaalifunktio, joka on läheisessä yhteydessä analyyttisen funktion primitiivin (eli kompleksisen antiderivaatan) käsitteeseen. Edelleen lauseen kolmas versio vaatii, että integroitava kuvaus on lokaalisti integroituva tai analyyttinen yhdesti yhtenäisessä (eli "reiättömässä") joukossa. Lopuksi Cauchyn lauseen neljäs versio paljastaa tieintegraalien (lineaarikombinaatioiden) häviävän, jos tie (teiden lineaarikombinaatio) ei "kierrä" yhtäkään pistettä, jossa integroitava kuvaus ei ole lokaalisti integroituva tai analyyttinen. Lause yleistää edeltäjiensä sanoman yhdistämällä potentiaaliteorian kierrosluvun käsitteeseen. ...
Keywords
polku tieintegraali lokaali integroituvuus analyyttisyys homotopia nollahomologisuus Cauchyn lause kompleksiluvut funktiot analyyttiset funktiot lauseet yhtälöt määritelmät vyöhykkeet
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201906263452

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [25543]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia 

    Jäntti, Pasi (2019)
    Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ...
  • Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset 

    Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ...
  • Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat 

    Hakavuori, Eero (2014)
    Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin ...
  • Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla 

    Kauppinen, Jussi (2020)
    Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ...
  • Harnack-funktiot ja Picardin lause 

    Rautiainen, Arja (2008)
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre