Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot

Abstract

Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi integroituva vektorikenttä tai analyyttinen kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. Tutkielman ytimessä ovat kysymykset tällaisten tieintegraalien häviämisestä. Analyyttisyyden ja lokaalin integroituvuuden määritelmät luovat pohjan Cauchyn lauseen neljälle versiolle, ja kukin näistä lauseista antaa ehdot, joiden vallitessa sekä analyyttisen funktion kompleksinen tieintegraali että lokaalisti integroituvan vektorikentän reaalinen tieintegraali (yli suljetun tien) ovat arvoltaan 0.

Cauchyn lauseen versiot esitetään nousevassa järjestyksessä, eli jokainen versio on seuraajansa erikoistapaus. Ensimmäinen versio olettaa, että tien kuvajoukko määrittelee vyöhykkeen, eli riittävän "siistin" tason osajoukon. Toinen versio asettaa topologiset ehdot, joiden vallitessa lokaalisti integroituvalle kentälle voidaan konstruoida potentiaalifunktio, joka on läheisessä yhteydessä analyyttisen funktion primitiivin (eli kompleksisen antiderivaatan) käsitteeseen.

Edelleen lauseen kolmas versio vaatii, että integroitava kuvaus on lokaalisti integroituva tai analyyttinen yhdesti yhtenäisessä (eli "reiättömässä") joukossa. Lopuksi Cauchyn lauseen neljäs versio paljastaa tieintegraalien (lineaarikombinaatioiden) häviävän, jos tie (teiden lineaarikombinaatio) ei "kierrä" yhtäkään pistettä, jossa integroitava kuvaus ei ole lokaalisti integroituva tai analyyttinen. Lause yleistää edeltäjiensä sanoman yhdistämällä potentiaaliteorian kierrosluvun käsitteeseen.