Cauchyn lause ja potentiaalifunktiot
Authors
Date
2019Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tämä tutkielma käsittelee reaalisia ja kompleksisia tieintegraaleja tasossa. Kiinnostuksen kohteena ovat erityisesti ne erikoistapaukset, joissa integrointiin liittyvä tie on suljettu, ja integroitava kuvaus on joko lokaalisi integroituva vektorikenttä tai analyyttinen kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio. Tutkielman ytimessä ovat kysymykset tällaisten tieintegraalien häviämisestä. Analyyttisyyden ja lokaalin integroituvuuden määritelmät luovat pohjan Cauchyn lauseen neljälle versiolle, ja kukin näistä lauseista antaa ehdot, joiden vallitessa sekä analyyttisen funktion kompleksinen tieintegraali että lokaalisti integroituvan vektorikentän reaalinen tieintegraali (yli suljetun tien) ovat arvoltaan 0.
Cauchyn lauseen versiot esitetään nousevassa järjestyksessä, eli jokainen versio on seuraajansa erikoistapaus. Ensimmäinen versio olettaa, että tien kuvajoukko määrittelee vyöhykkeen, eli riittävän "siistin" tason osajoukon. Toinen versio asettaa topologiset ehdot, joiden vallitessa lokaalisti integroituvalle kentälle voidaan konstruoida potentiaalifunktio, joka on läheisessä yhteydessä analyyttisen funktion primitiivin (eli kompleksisen antiderivaatan) käsitteeseen.
Edelleen lauseen kolmas versio vaatii, että integroitava kuvaus on lokaalisti integroituva tai analyyttinen yhdesti yhtenäisessä (eli "reiättömässä") joukossa. Lopuksi Cauchyn lauseen neljäs versio paljastaa tieintegraalien (lineaarikombinaatioiden) häviävän, jos tie (teiden lineaarikombinaatio) ei "kierrä" yhtäkään pistettä, jossa integroitava kuvaus ei ole lokaalisti integroituva tai analyyttinen. Lause yleistää edeltäjiensä sanoman yhdistämällä potentiaaliteorian kierrosluvun käsitteeseen.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29626]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia
Jäntti, Pasi (2019)Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ... -
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat
Hakavuori, Eero (2014)Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin ... -
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Polynomikasvuiset kokonaiset funktiot
Saariaho, Ville-Matias (2022)Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan kompleksianalyysin keinoin polynomikasvuisia kokonaisia funktioita. Polynomikasvuisuus voidaan muotoilla tarkastelemalla funktion f modulia eli itseisarvoa. Jos ...