Polynomikasvuiset kokonaiset funktiot
Authors
Date
2022Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä matematiikan pro gradu -tutkielmassa tarkastellaan kompleksianalyysin keinoin polynomikasvuisia kokonaisia funktioita. Polynomikasvuisuus voidaan muotoilla tarkastelemalla funktion f modulia eli itseisarvoa. Jos funktion f modulia voidaan arvioida ylhäältä |f (z)| ≤ C|z|^n, missä C < ∞ kaikilla |z| ≥ 1, niin tällöin polynomi C|z|^n rajoittaa funktion f modulia, joten funktio f on välttämättä enintään
n-asteinen polynomi.
Funktion f sanotaan olevan kokonainen, jos se on analyyttinen koko kompleksitasossa. Funktion f analyyttisyys voidaan käsittää suppenavana potenssisarjana,
jossa ei ole negatiivisia potensseja, avoimessa kiekossa B(z0; r) pisteen z_0 suhteen. Kokonaisen analyyttisen funktion f potenssisarjan suppenemissäde on ääretön.
Tutkielman viisikohtainen päälause pohjautuu algebran peruslauseeseen, josta jokainen päälauseen todistettava kohta on johdettavissa. Päälauseen todistuksissa näytetään ensin, että kokonainen analyyttinen funktio f on polynomi, minkä jälkeen
muut todistettavat ominaisuudet johdetaan. Algebran peruslause antaa keinon mää
rittää n-asteisen polynomin nollakohtien lukumäärän, joka saadaan suoraan polynomin asteluvusta. Tämä yksinkertaiselta kuulostava polynomien ominaisuus tuotti
entisaikojen matemaatikoille harmaita hiuksia, kunnes Carl Friedrich Gauss todisti
algebran peruslauseen väitöskirjassaan vuonna 1799. Nykyään todistuksia algebran
peruslauseelle on useita. Eräs erittäin lyhyt todistus pohjautuu Liouvillen lauseeseen, joka on tämän tutkielman päälauseen erään kohdan erikoistapaus.
Päälauseen todistuksissa usein tarkastellaan muunnosta g(z) = f (1/z), joka antaa keinon tarkastella muunnoksen g napoja. Napa voidaan määritellä analyyttisen
funktion potenssisarjan avulla. Navan määritelmän mukaan potenssisarjassa on äärellinen määrä negatiivisia potensseja. Jos pystytän näyttämään, että muunnoksella g on napa, niin tällöin funktio f on polynomi. Tutkielman päälause siis antaa erilaisia karakterisaatioita polynomeille.
...
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29107]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Picardin lauseen todistaminen Harnackin epäyhtälön avulla
Kauppinen, Jussi (2020)Charles Emile Picardin mukaan nimetty Picardin lause ottaa kantaa kompleksisesti differentioituvien eli analyyttisten funktioiden käyttäytymiseen. Kyseinen lause on tutkielman päätulos. Tarkalleen lauseessa väitetään, että ... -
Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset
Karttunen, Hanna-Kaisa (2014)Tämän tutkielman tarkoituksena on syventää tietoja kompleksianalyysistä tutustumalla harmonisiin funktioihin ja konformikuvauksiin. Funktioita, jotka toteuttavat Laplacen yhtälön, kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. ... -
Konformisia ja lokaalisti konformisia kuvauksia
Jäntti, Pasi (2019)Tässä tutkielmassa perehdytään konformikuvauksiin liittyvään teoriaan. Erityisesti tarkastellaan konformikuvauksia eri kompleksitason alueiden välillä. Tutkielman yhtenä päätuloksena todistetaan Riemannin kuvauslause, jonka ... -
Konformikuvaukset
Törmälehto, Justus (2022)Tässä tutkielmassa perehdytään kompleksitason konformikuvauksiin. Kompleksisen kuvauksen konformisuus pisteessä tarkoittaa kahden sileän käyrän leikkauspisteen kulman säilymistä kuvauksessa. Konformikuvaukset ovat derivoituvia ... -
Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat
Hakavuori, Eero (2014)Tämän tutkielman tavoitteena on esittää, miten analyyttisen funktion määrittelyjoukko laajennetaan Riemannin pinnaksi, joka sisältää informaation kaikista funktion analyyttisistä jatkeista kompleksitasossa. Tätä Riemannin ...