Reaalianalyyttistä lukuteoriaa

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustuttaa lukija Bernoullin polynomeihin, Γ-funktioon ja lukuteoreettisiin Mertensin lauseisiin. Näiden lisäksi tutkitaan erästä lukuteoreettista tuloa, ja esitellään tähän tuloon liittyviä tiettävästi uusia tuloksia.

Bernoullin polynomien avulla todistetaan erityisesti Euler-Maclaurinin lause, joka kertoo erilaisten summien ja integraalien välisestä yhteydestä. Γ-funktion avulla taas todistetaan Stirlingin kaava, joka antaa hyvän approksimaation kertoman n! kasvu- nopeudesta. Mertensin lauseista ensimmäinen kertoo, miten nopeasti lukua n pie- nempien alkulukujen käänteislukujen 1/p summa hajaantuu, kun kasvatetaan lukua n. Toinen Mertensin lause kertoo, kuinka nopeasti kohti nollaa menee samojen alkulu- kujen yli otettava tulo, jossa kerrotaan keskenään lukuja 1 − 1/p.

Näiden työkalujen avulla tutkitaan lopuksi erästä tuloa. Kiinteälle kokonaisluvulle n tässä tulossa kerrotaan keskenään ne luvut 1 ≤ k ≤ n, joilla ei ole yhteisiä tekijöitä luvun n kanssa. Tälle tulolle saadaan tiettävästi uusia ylä- ja alarajoja, joista osa on tarkkoja. Näiden rajojen etuna on se, ettei niiden laskemiseen tarvita tietoa luvuista k, vaan riittää tietää luvun n alkutekijähajotelma.