Hyperbolisen geometrian analyyttisiä malleja

Abstract

Tässä tutkielmassa esitellään viisi erilaista Riemannin monistoa, jotka toimivat hyperbolisen geometrian analyyttisinä malleina. Geometria voidaan karkeasti jakaa kahteen eri tapaukseen, euklidiseen ja epäeuklidiseen. Euklidisessa geometriassa pätee Eukleideen geometrian viides aksiooma, paralleeliaksiooma. Näin ei kuitenkaan ole laita hyperbolisessa geometriassa, joka luokitellaan epäeuklidiseksi geometriaksi. Analyyttisellä geometrialla taas tarkoitetaan koordinaatistoon sidottua geometriaa. Tässä tapauksessa nämä geometrian mallit ovat topologisia 2-ulotteisia pintoja euklidisessa avaruudessa.

Lisäksi tutkielman malleissa hyödynnetään näille pinnoille määriteltyä sileää differentiaalirakennetta, jolloin voidaan käyttää mallista nimitystä sileä monisto. Riemannin monistossa on määritelty 2-kovariantti tensorikenttä, Riemannin metriikka, jonka avulla voidaan selvittää geodeesi eli sileä polku, jonka kuva monistolla on kahden pisteen välinen lyhin reitti eli geometrinen jana. Myös sellaiset geometriset oliot kuin suora ja kulma määritellään Riemannin metriikan avulla.

Tutkielmassa johdetaan keino geodeesien laskemiseksi geodeettisen differentiaaliyhtälöryhmän avulla. Tämän yhtälöryhmän ratkaisuna hahmotellaan suorat yhdessä hyperbolisen geometrian mallissa, Poincarén puolitasossa. Lopuksi tutkielmassa esitellään metriikan siirto, joka on keino muodostaa alkuperäisen mallin kaltaisia uusia hyperbolisen geometrian malleja sopivien diffeomorfismien avulla. Tätä menetelmää käytetään neljän muun Riemannin moniston muodostamiseen.