Poincaré duality for open sets in Euclidean spaces

Abstract

Todistamme tässä työssä Poincarén dualiteetin Euklidisten avaruuksien avoimille joukoille. Annamme lyhyen johdatuksen differentiaaligeometriaan ja määrittelemme de Rham -kohomologian käsitteen. Itse Poincarén dualiteetin todistuksen aloitamme muutamalla aputuloksella. Näytämme ensin, että Poincarén dualiteetti pätee joukoille, jotka ovat diffeomorfisia avaruuteen R^n . Todis- tamme sitten Poincarén dualiteetin avointen joukkojen yhdisteille erinäisten lisäoletusten vallitessa. Tätä varten esittelemme Mayer–Vietoris jonon de Rham -kohomologialle. Lopulta näytämme Poincarén dualiteetin mielivaltaiselle avoimelle joukolle käytten Whitney-jakoa. Annamme myös havainnollistavan esimerkin Poincarén dualiteetista punkteeratussa tasossa.

In this thesis we prove the Poincaré duality for open sets in Euclidean spaces. We start with a brief introduction to differential geometry and introduce then the de Rham cohomology. The actual proof begins with some auxiliary results. We prove first the Poincaré duality for sets that are diffeomorphic to R^n . We then introduce the Mayer–Vietoris sequence for de Rham cohomology and show that the Poincaré duality holds for unions of open sets with some additional assumptions. Finally we prove the Poincaré duality for an arbitrary open set using the Whitney decomposition. We give also an illustrative example of the Poincaré duality in the punctured plane.