Hyperbolisen geometrian historiaa

Abstract

Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on tutustua yleisesti hyperbolisen geometrian historiaan ja siihen, miten hyperbolisesta geometriasta tuli tunnustettu osa nykypäivän matematiikkaa. Tutkielma keskittyy paralleeliaksioomasta syntyneisiin todistuksiin ja niistä seuranneisiin tuloksiin, joista huomattiin, että euklidisen geometrian lisäksi saattaa olla olemassa toisenlaista geometriaa.

Tutkielman alkupuolella käymme läpi paralleeliaksiooman varhaisia todistusyrityksiä Ptolemaioksen, Prokloksen sekä John Wallisin toimesta. Tätä työtä jatkoi Girolamo Saccheri, joka teki siihen asti parhaan yrityksen paralleeliaksiooman todistamiseksi. Saccherin työ perustuu nelikulmioon, joka tunnetaan nykyään Saccherin nelikulmiona.

Käsittelemme Saccherin työtä syvällisemmin kuin muita, sillä Saccherin tekemät hypoteesit Saccherin nelikulmion huippukulmista toimivat pohjana usean eri geometrikon töille ja siitä jatkoivat esimerkiksi Johann Heinrich Lambert sekä Adrien-Marie Legendre. Heidän työnsä eivät kuitenkaan tuoneet pituuden absoluuttisen mitan käsitteen lisäksi mitään, mitä edeltävät geometrikot eivät olisi löytäneet. Legendren tyylikäs ja yksinkertainen tapa lähestyä ongelmia kuitenkin lisäsi yhdensuuntaisten suorien teorian tutkijoiden määrää.

Tutkielman lopussa tutustumme Carl Friedrich Gaussin, Nikolai Lo\-ba\-tševs\-kin sekä János Bolyain töihin. Heitä pidetään yleisesti epäeuklidisen geometrian löytäjinä ja pystymme näkemään Gaussin, Lobatševskin ja Bolyain töissä yhteyden Lambertin, Legendren sekä Saccherin töiden kanssa. Edellä mainittujen matemaatikoiden käsittely on kuvailevampaa, sillä niissä esiintyvät yksityiskohdat vaatisivat syvällisempiä pohjatietoja, joten niiden käsittely ohitetaan. Tutkielma päättyy hyperbolisen geometrian leviämisen tarkasteluun sen löytymisen jälkeen.