Transkendenttiluvut

Abstract

Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on perehtyä transkendenttilukuihin sekä algebrallisiin lukuihin. Algebrallinen luku on jonkin rationaalilukukertoimisen polynomin juuri. Jos luku ei ole algebrallinen niin se on transkendentti. Tutkielmassa aihetta lähestytään kuntien, kuntalaajennosten sekä symmetristen polynomien kautta. Tutkielman tarkoituksena on antaa tiivis yleiskuvaus aiheesta.

Ensin tutkielmassa perehdytään pohjatietoina rationaali- ja irrationaalilukuihin sekä erityisesti esitetään todistukset lukujen π ja e irrationaalisuudesta luvussa 1. Pohjatietojen käsittelyn jälkeen annetaan määritelmä transkendenttiluvulle ja algebralliselle luvulle. Tästä siirrytään tarkastelemaan tutkielmassa myöhemmin tarvittavaa perusalgebraa luvussa 2. Luvussa 3 perehdytään polynomirenkaisiin sekä symmetrisiin polynomeihin. Samassa luvussa todistetaan symmetristen polynomien peruslause, jolla on oleellinen osa tutkielman päätuloksien todistuksissa.

Luvussa 4 tutustutaan kuntalaajennoksiin ja erilaisiin niitä koskeviin tuloksiin. Luvussa 5 käsitellään algebrallisten lukujen ominaisuuksia ja osoitetaan, että algebralliset luvut muodostavat kunnan. Tutkielman päätuloksina luvussa 6 esitetään todistukset lukujen π ja e transkendenttiudesta. Tutkielman lopuksi luvussa 6 esitellään vielä, miten luvun π transkendenttius liittyy antiikin konstruktio-ongelmaan ympyrän neliöinnistä ja samassa luvussa esitellään myös kuution kahdentamiseen liittyvä konstruktio-ongelma. Tämän lisäksi otetaan pieni katsaus siihen millaisiin transkendenttilukuihin liittyviin ratkaisemattomiin ongelmiin nykypäivän matemaatikot yrittävät löytää ratkaisuja.