The minimal number of generators for ideals in commutative rings

Abstract

Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; modulit yleistävät sekä ideaalit että vektoriavaruudet. Jos joukko {a1, . . . , an} on vektoriavaruuden V virittäjäjoukko, jossa mikään alkioista ai ei kuulu toisten virittäjien lineaariseen verhoon, on kyseinen joukko lineaarisesti riippumaton virittäjäjoukko eli kanta. Tällöin kaikissa vektoriavaruuden V virittäjäjoukoissa on vähintään n alkiota, ja kaikissa kannoissa niitä on tasan n kappaletta. Tarpeettomien virittäjien poistaminen ei ideaalin ollessa kyseessä kuitenkaan riitä. Vaikka mitään ideaalin virittäjistä ai ei voitaisi poistaa, pienempi virittäjäjoukko saattaa silti olla olemassa. Erityinen kokoelma renkaita, joissa ideaalin minimaalisen virittäjämäärän selvittäminen on verrattain helppoa, on lokaalit renkaat. Hieman yleisemmin: kun R on lokaali rengas, niin äärellisviritteisen R-modulin minimaalinen virittäjämäärä on sama kuin tietyn renkaaseen ja moduliin liittyvän vektoriavaruuden dimensio. Todistus pohjautuu moduliteorian tulokseen, joka tunnetaan nimellä Nakayaman lemma. Lokaalien renkaiden tapauksessa kysymys voidaan siten palauttaa vektoriavaruuden dimension selvittämiseen. Renkaan lokalisaatio syntyy samantapaisella (vaikkakin hieman yleisemmällä) konstruktiolla kuin rationaaliluvut. Sen avulla voidaan löytää alaraja ideaalin minimaaliselle virittäjämäärä alle renkaassa, joka ei ole lokaali. Jokaisella ideaalilla on lokalisaatiossa sitä vastaava ideaali, jota kutsutaan sen laajennukseksi, ja laajennuksen minimaalinen virittäjämäärä on pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen ideaalin minimaalinen virittäjämäärä. Alkuideaalin suhteen tehty lokalisaatio on lokaali rengas, joten yllä esitetty tulos antaa halutun alarajan. Jos tämän suuruinen virittäjäjoukko on löydetty, voidaan näin todistaa että se on minimaalinen siinä mielessä, että pienempiä virittäjäjoukkoja ei ole olemassa. Mikäli R on Noetherin rengas, voidaan sen ideaalien minimaaliselle virittäjämäärälle löytää myös yläraja. Tässä tekstissä esitellään Otto Forsterin tulos. Jokaiselle äärellisviritteiselle R-modulille E määritellään luku b(E) siten, että E voidaan virittää joukolla alkioita, joita on b(E) kappaletta. Myös tämä tulos hyödyntää lokalisaatiota, ja sen lisäksi Krullin dimensiokäsitettä ja Zariski-topologiaa. Käsitteiden selventämiseksi käytetyistä esimerkeistä suurin osa käsittelee polynomirenkaita.