Dimension of Heisenberg Kakeya sets and circular Furstenberg sets

Abstract

This thesis studies the Hausdorff dimension of variants of Kakeya sets in Rn. It consists of an introduction and three papers. In paper [A], we define Kakeya sets in the n-th Heisenberg group and show the sharp lower bound is 3 for the Heisenberg Hausdorff dimension of Kakeya sets in the first Heisenberg group. In papers [B] and [C], we define circular (s, t)-Furstenberg sets F in R2. We prove that the Hausdorff dimension dimH(F) ⩾ t 3 + s if 0 < s ⩽ 1 and 0 < t ⩽ 3 and dimH(F) ⩾ (2s−1)t+s if 1/2 < s ⩽ 1 and 0 < t ⩽ 1 in [B]. Moreover, we show the sharp lower bound dimH(F) ⩾ s + t if 0 < t ⩽ s ⩽ 1 in [C].

Tämä väitöskirja tarkastelee Kakeya-joukkojen muunnelmien Hausdorff-dimensiota. Väitöskirja koostuu johdannosta ja kolmesta paperista. Paperissa [A] määrittelemme Kakeya-joukot n:nnessä Heisenbergin ryhmässä ja näytämme ensimmäisen Heisenberg-ryhmän Kakeya-joukkojen Heisenberg-Hausdorffdimension tarkan alarajan olevan 3. Papereissa [B] ja [C] määrittelemme ympyräiset (s, t)-Furstenberg-joukot F ⊂ R2. Paperissa [B] osoitamme, että Hausdorffin dimensio dimH(F) ⩾ t 3 + s, jos 0 < s ⩽ 1 ja 0 < t ⩽ 3 ja dimH(F) ⩾ (2s − 1)t + s, jos 1/2 < s ⩽ 1 ja 0 < t ⩽ 1. Paperissa [C] näytämme tarkan alarajan dimH(F) ⩾ s + t, jos 0 < t ⩽ s ⩽ 1.