Parakompaktius
Tekijät
Päivämäärä
2023Tekijänoikeudet
© The Author(s)
Tämä tutkielma on katsaus topologiaan keskittyen etenkin parakompaktiuteen ja avaruuksien metristyvyyteen. Tutkielmassa esitellään topologian perusteet avoimista joukoista alkaen ja tämän jälkeen käydään läpi tarvittavia esitietoja, kuten topologian kanta, jatkuva funktio ja separaatioaksioomat. Eräs tärkeimmistä esitiedoista on paikallisen äärellisyyden käsite.
Parakompaktiutta vahvempi ominaisuus topologiselle avaruudelle on kompaktius. Kompaktin joukon voidaan ajatella olevan yleistys suljetusta ja rajoitetusta välistä
reaalilukujen joukossa. Tutkielmassa näytetään, miten kompaktiuden määritelmästä saadaan muotoiltua parakompaktiuden määritelmä ja mitä tuloksia parakompaktiuden nojalla topologiselle avaruudelle voidaan todistaa. Yksi näistä tuloksista on metristyvyys, joka tarkoittaa, että kyseisessä topologisessa avaruudessa voidaan määritellä etäisyyden käsite. Metristyvyydelle on topologian historian aikana annettu useita ehtoja ja tässä tutkielmassa niistä esitetään kolme. Kaksi ensimmäistä näistä, eli Urysonin metristyvyyslause ja Nagata-Smirnovin metristyvyyslause, eivät käytä todistuksissaan parakompaktiutta. Viimeisenä esitettävä Smirnovin metristyvyyslause taas käyttää parakompaktiutta.
Tutkielmassa käsitellän useita parakompaktiuden sovelluksia. Smirnovin metristyvyyslauseen lisäksi tarkastellaan monistoja, joille saadaan parakompaktiutta käyttäen osoitettua erilaisia ominaisuuksia. Monistot ovat topologisia avaruuksia, jotka paikallisesti näyttävät euklidisilta avaruuksilta. Esimerkiksi fysiikassa aika-avaruutta voidaan mallintaa monistona. Parakompaktiuden sovellukset ovat usein seurausta ykkösen osituksen olemassaolosta. Ykkösen osituksessa laajennetaan paikallisesti määriteltyjä jatkuvia funktioita koko avaruuteen.
...
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [29149]
Lisenssi
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Separaatioaksioomat ja jatkuvien kuvausten laajentaminen
Timonen, Joel (2023)Tässä matematiikan Pro Gradu -tutkielmassa todistetaan McShanen ja Tietzen jatkolauseet sekä Urysonin lemma. Ensimmäinen tulos liittyy metrisiin avaruuksiin ja kaksi jälkimmäistä topologiaan. McShanen jatkolause kertoo, ... -
Kompaktisuus ja kompaktisointi
Salo, Mikko (2017)Tässä tutkielmassa käsitellään topologisia avaruuksia ja erityisesti niiden kompaktisuutta. Topologiset avaruudet ovat yleistys normiavaruuksista, mutta niissä ei tunneta etäisyyden käsitettä. Topologisia käsitteitä ovatkin ... -
Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa
Karvinen, Antti (2016) -
Momentum-space structure of surface states in a topological semimetal with a nexus point of Dirac lines
Hyart, Timo; Heikkilä, Tero (American Physical Society, 2016)Three-dimensional topological semimetals come in different variants, either containing Weyl points or Dirac lines. Here we describe a more complicated momentum-space topological defect where several separate Dirac lines ... -
Mappings of Finite Distortion : Compactness of the Branch Set
Kauranen, Aapo; Luisto, Rami; Tengvall, Ville (Hebrew University Magnes Press; Springer, 2021)We show that an entire branched cover of finite distortion cannot have a compact branch set if its distortion satisfies a certain asymptotic growth condition. We furthermore show that this bound is strict by constructing ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.