University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Kompaktisuus ja kompaktisointi

Thumbnail
View/Open
263.0 Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Salo, Mikko
Date
2017
Discipline
MatematiikkaMathematics

 
Tässä tutkielmassa käsitellään topologisia avaruuksia ja erityisesti niiden kompaktisuutta. Topologiset avaruudet ovat yleistys normiavaruuksista, mutta niissä ei tunneta etäisyyden käsitettä. Topologisia käsitteitä ovatkin sellaiset, jotka säilyvät avaruuden jatkuvissa muodonmuutoksissa, kuten venytyksissä ja taivutuksissa. Topologian näkökulmasta esimerkiksi väli $(0,1)$ on sama kuin koko reaaliakseli $\mathbb{R}$. Kompaktisuus on yksi tärkeimpiä topologisia ominaisuuksia ja tutkielmassa todistetaankin useita kompaktisuuteen liittyviä tuloksia, joista tärkein on ehdottomasti Tihonovin lause. Tihonovin lauseen sovelluksena todistamme myös Heine-Borelin lauseen, joka karakterisoi euklidisen avaruuden $\mathbb{R}^n$ kompaktit osajoukot. Kompaktilla avaruudella on monia hyödyllisiä ja haluttuja ominaisuuksia. Tunnettuna esimerkkinä näistä on se, että jatkuva kuvaus $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ saavuttaa suurimman ja pienemmin arvonsa jokaisessa kompaktissa joukossa. Lisäksi tutkielmassa perehdytään siihen, miten topologista avaruutta approksimoidaan kompaktilla topologisella avaruudella. Tätä kutsutaan kompaktisoinniksi ja se tapahtuu upottamalla topologinen avaruus kompaktiin topologiseen avaruuteen siten, että alkuperäinen avaruus on topologian mielessä hyvin suuri uudessa kompaktissa avaruudessa. Esimerkkinä kompaktisoinnista annetaan yhden pisteen kompaktisointi ja Stone-Čech-kompaktisointi, jotka tullaan osoittamaan tietyissä tapauksissa pienimmäksi ja suurimmaksi kompaktisoinniksi. Esitiedoiksi lukijalta vaaditaan perustaidot joukko-opista. Lisäksi Heine-Borelin lauseen ymmärtämiseen vaaditaan tietoja vektoriavaruuksista ja erityisesti euklidisista avaruuksista. ...
 
In this thesis we address topological spaces and especially their compactness. Topological spaces are a generalization of inner product spaces, but they don't have the concept of distance. Topological concepts are those that are preserved under continuous deformations, such as stretching and bending. For example in topological terms the interval $(0,1)$ is the same as the entire real axis $\mathbb{R}$ One of the most important topological concepts is compactness and we prove many theorems regarding compactness, the most important of which is by far Tychonoff theorem. As an application of Tychonoff theorem we also prove Heine-Borel theorem which characterizes the compact subsets of the euclidean space $\mathbb{R}^n$. Compact spaces have many useful and wanted properties. A well known example of these is that a continuous mapping $f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ attains its minimal and maximal values on any compact interval. Additionally in this thesis we look into approximating topological spaces with compact topological spaces. This is called compactification and it's done by embedding a topological space into a compact topological space such that the original space is very large in the new compact space in terms of topology. As examples of compactification we give the one point compactification and Stone-Čech-compactification, which turn out to be the smallest and largest compactifications in certain cases. The reader is expected to have basic understanding of set theory. Additionally, in order to understand the Heine-Borel theorem, the reader must have knowledge of vector spaces, especially of the euclidean space. ...
 
Keywords
topologia kompaktisointi topologiset avaruudet
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201706062710

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [24532]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Yleistettyjen jonojen käyttö topologiassa 

    Karvinen, Antti (2016)
  • Momentum-space structure of surface states in a topological semimetal with a nexus point of Dirac lines 

    Hyart, Timo; Heikkilä, Tero (American Physical Society, 2016)
    Three-dimensional topological semimetals come in different variants, either containing Weyl points or Dirac lines. Here we describe a more complicated momentum-space topological defect where several separate Dirac lines ...
  • Yhdesti yhtenäisten tasoalueiden konformisten itsekuvausten ryhmät sup-metriikassa 

    Syrjälä, Juha (2014)
  • Vektoriavaruudet ja niiden representaatiot 

    Hietala, Roope (2022)
    Tässä työssä tutkitaan erilaisia representaatioita vektoriavaruuksille sekä Hilbertin avaruuden rakennetta. Hilbertin avaruudet ovat täydellisiä sisätuloavaruuksia, jotka ovat yleistys euklidiselle avaruudelle. Tavoitteena ...
  • Topologinen aste 

    Huttunen, Lauri (2017)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on luoda perusta topologiselle asteelle, ja todistaa siihen liittyviä tuloksia. Topologinen aste määritellään aluksi jatkuvasti derivoituville funktioille jossakin kyseisen funktion kuvapisteessä. ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre