Cesarin konstruktio ja sen ominaisuuksia
Tekijät
Päivämäärä
2023Pääsyrajoitukset
Tekijä ei ole antanut lupaa avoimeen julkaisuun, joten aineisto on luettavissa vain Jyväskylän yliopiston kirjaston arkistotyösemalta. Ks. https://kirjasto.jyu.fi/kokoelmat/arkistotyoasema..
Tekijänoikeudet
© The Author(s)
Tässä tutkielmassa käsitellään Cesarin konstruktiota, joka on yksi tilan täyttävistä käyristä. Tilan täyttävän käyrän määritelmä edellyttää, että funktio kuvaa välin [0;1] koko neliöksi [0;1]x[0;1]. Tällaisen funktion kuvajoukkoa kutsutaan tilan täyttäväksi käyräksi.
Tilan täyttävien käyrien historian voidaan katsoa alkaneen vuodesta 1878, jolloin George Cantor osoitti, että välin [0;1] voi kuvata bijektiivisesti neliöksi [0;1]x[0;1]. Seuraavana vuonna E. Netto kuitenkin osoitti, että tällainen kuvaus ei voi olla jatkuva. Tästä jatkui vastaavien käyrien ominaisuuksien tutkiminen. Vuonna 1890 G. Peano osoitti, että löytyy surjektiivinen jatkuva kuvaus väliltä [0;1], jonka kuva on koko neliö [0;1]x[0;1]. Tämä on ensimmäinen tilan täyttävä käyrä, joka tunnetaan myös nimellä Peanon käyrä.
Cesarin konstruktio aloitetaan valitsemalla yksikköpallon sisältä neljä pistettä. Näiden pisteiden ympärille valitaan pienempi ja suurempi säde. Tämän jälkeen määritellään funktio, jonka arvo riippuu siitä, sijaitseeko piste pienemmän säteen sisällä, säteiden välissä vai suuremman säteen ulkopuolella. Iteroimalla vastaavasti saadaan funktio, joka kuvaa yksikköpallon neliöksi [0;1]x[0;1]. Tarkemmin sanottuna jopa hyvin pieni osajoukko yksikköpallosta kuvautuu täksi neliöksi.
Tässä tutkielmassa konstruoidaan Cesarin konstruktiota läheisesti muistuttava funktio jakamalla väli [0;1] neljään osaväliin. Jokaisesta osavälistä valitaan keskeltä pienempi väli, joka jälleen jaetaan neljään osaväliin. Näin muodostuu sisäkkäisiä välejä, joiden pituus lähestyy nollaa. Konstruktiossa määritellään funktio, joka kuvaa jokaisella iteraatiokierroksella tihenevän kuvan maalijoukkoon [-1;1]x[-1;1] täyttäen lopulta koko neliön. Skaalaamalla ja siirtämällä kuvajoukoksi saadaan neliö [0;1]x[0;1].
Konstruktion iteraatiokierrosten osavälien leikkaus osoittautuu nollamittaiseksi. Tämä nollamittainen joukko kuvautuu positiivisen mittaiseksi. Lisäksi osoitetaan, että tämän nollamittaisen joukon Hausdorffin dimensio saadaan mielivaltaisen pieneksi, ja että konstruktiossa määritelty funktio on jatkuva.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [29427]
Lisenssi
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Derivaattafunktion ominaisuuksia
Harja, Annika (2013)Harja, A. 2013.Derivaattafunktion ominaisuuksia.Jyväskyläan yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos,matematiikan pro gradu -tutkielma. Derivaattafunktio on eräs analyysin keskeisistä käsitteistä. Sitä tarkastellaan ... -
Transkendenttiluvut
Viitala, Mia (2024)Tämän pro gradu -tutkielman tarkoituksena on perehtyä transkendenttilukuihin sekä algebrallisiin lukuihin. Algebrallinen luku on jonkin rationaalilukukertoimisen polynomin juuri. Jos luku ei ole algebrallinen niin se ... -
Miksi Java-ohjelmointikielessä on funktiokielistä lainattuja ominaisuuksia
Vilavaara, Riikka (2020)Moniin oliopohjaisiin ohjelmointikieliin, kuten Javaan, on viime vuosina lisätty funktionaalisille ohjelmointikielle ominaiset lambda-lausekkeet. Tämän tutkielman tarkoituksena on selvittää, miksi oliopohjaiseen ... -
Lämpöyhtälön ja Laplacen yhtälön ratkaisun ominaisuuksia
Pakarinen, Tiina (2015)Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua kahteen tärkeään osittaisdifferentiaaliyhtälöön; Laplacen yhtälöön ja lämpöyhtälöön. Näitä molempia hyödynnetään fysiikan lisäksi useiden muidenkin tieteenalojen sovelluksissa. ... -
Hyvän liikunnanopettajan ominaisuuksia 2000 -luvulla
Lamminaho-Saarinen, Tiina (2019)Hyvän opettajan ominaisuuksien arvostus on muuttunut ajan kuluessa yhteiskunnan muutosten myötä. Uudistuneet opetussuunnitelmat ovat muuttaneet liikunnan opetusta ja samalla myös ne ovat muuttaneet hyvältä liikunnanopettajalta ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.