Cesarin konstruktio ja sen ominaisuuksia

Abstract

Tässä tutkielmassa käsitellään Cesarin konstruktiota, joka on yksi tilan täyttävistä käyristä. Tilan täyttävän käyrän määritelmä edellyttää, että funktio kuvaa välin [0;1] koko neliöksi [0;1]x[0;1]. Tällaisen funktion kuvajoukkoa kutsutaan tilan täyttäväksi käyräksi.

Tilan täyttävien käyrien historian voidaan katsoa alkaneen vuodesta 1878, jolloin George Cantor osoitti, että välin [0;1] voi kuvata bijektiivisesti neliöksi [0;1]x[0;1]. Seuraavana vuonna E. Netto kuitenkin osoitti, että tällainen kuvaus ei voi olla jatkuva. Tästä jatkui vastaavien käyrien ominaisuuksien tutkiminen. Vuonna 1890 G. Peano osoitti, että löytyy surjektiivinen jatkuva kuvaus väliltä [0;1], jonka kuva on koko neliö [0;1]x[0;1]. Tämä on ensimmäinen tilan täyttävä käyrä, joka tunnetaan myös nimellä Peanon käyrä.

Cesarin konstruktio aloitetaan valitsemalla yksikköpallon sisältä neljä pistettä. Näiden pisteiden ympärille valitaan pienempi ja suurempi säde. Tämän jälkeen määritellään funktio, jonka arvo riippuu siitä, sijaitseeko piste pienemmän säteen sisällä, säteiden välissä vai suuremman säteen ulkopuolella. Iteroimalla vastaavasti saadaan funktio, joka kuvaa yksikköpallon neliöksi [0;1]x[0;1]. Tarkemmin sanottuna jopa hyvin pieni osajoukko yksikköpallosta kuvautuu täksi neliöksi.

Tässä tutkielmassa konstruoidaan Cesarin konstruktiota läheisesti muistuttava funktio jakamalla väli [0;1] neljään osaväliin. Jokaisesta osavälistä valitaan keskeltä pienempi väli, joka jälleen jaetaan neljään osaväliin. Näin muodostuu sisäkkäisiä välejä, joiden pituus lähestyy nollaa. Konstruktiossa määritellään funktio, joka kuvaa jokaisella iteraatiokierroksella tihenevän kuvan maalijoukkoon [-1;1]x[-1;1] täyttäen lopulta koko neliön. Skaalaamalla ja siirtämällä kuvajoukoksi saadaan neliö [0;1]x[0;1].

Konstruktion iteraatiokierrosten osavälien leikkaus osoittautuu nollamittaiseksi. Tämä nollamittainen joukko kuvautuu positiivisen mittaiseksi. Lisäksi osoitetaan, että tämän nollamittaisen joukon Hausdorffin dimensio saadaan mielivaltaisen pieneksi, ja että konstruktiossa määritelty funktio on jatkuva.