Itô’s formula for finite variation Lévy processes

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tarkastella erästä versiota stokastisen integroinnin avaintuloksesta nimeltään Itôn kaava, jolla on tärkeä rooli niin stokastiikan teorian kuin sen erinäisten sovellusten kannalta. Itôn kaavoja voidaan johtaa perustuen useille eri oletuksille sekä tilanteille. Tässä tutkimuksessa oletamme päätuloksena esittettävän Itôn kaavassa käytettävän stokastisen prosessin olevan Lévy-prosessi, joka toteuttaa rajallisen vaihtelun ehdon ja vastaavasti kaavassa käytettävän funtion oletamme jatkuvaksi ja heikosti derivoituvaksi.

Tulemme käsittelemään oleellisimmat stokastiikan sekä analyysin esitiedot päätuloksena olevaa Itôn kaavan todistamista varten. Stokastisten prosessien osalta käsittelemme yleisimpiä esimerkkejä Lévy-prosesseista sekä esittelemme niiden tärkeimpiä perusominaisuuksia. Määrittelemme myös Poisson satunnaismitan, jonka tärkeänä erikoistapauksena on muun muuassa hyppymitta. Lisäksi esittelemme joitain kuuluisia stokastiikan tuloksia kuten Lévy-Itô-hajotelma sekä Lévy-Khintchine-kaava.

Lisäksi tärkeänä osana Itôn kaavaa määrittelemme ja konstruoimme tarkasti stokastisen integraalin alkaen yksinkertaisista prosesseista ja lopulta yleistäen sen koskemaan laajempaa osaa prosesseista. Jatkona stokastiseen integrointiin tarkastelemme vielä lähemmin erästä stokastisen integraalin laajennusta Poisson satunnaismitan suhteen. Lopuksi esittelemme ja todistamme erään version Itôn kaavasta, joka käyttää oletuksinaan rajallisen vaihtelun ehdon toteuttavaa prosessia, mutta päätuloksesta poiketen olettaa funktioiden olevan heikosti derivoituvuuden sijaan ainoastaan jatkuvasti differentioituvia.

Johtuen erityisesti heikosti derivoituvuuden oletuksesta käymme lisäksi läpi joitain reaali- ja funktionaalianalyysin perustuloksia. Erityisenä huomion kohteena ovat tulokset koskien distribuutioteoriaa ja heikkoa derivoituvuutta. Lopuksi näitä esitietoja käyttäen ja oletukset tarkasti määritellen todistamme yksityiskohtaisesti tutkielman päätuloksena olevan version Itôn kaavasta tapauksessa, jossa dimensio on 1.

In this thesis we examine a version of the integral result of stochastic integration called Itô's formula which plays an important role both in terms of theory of stochastic and also its various applications. Itô's formulas can be derived based on several different circumstances and situations. In this thesis, we assume that the stochastic process used in Itô's formula presented as the main result is a Lévy process, which fulfills the condition of finite variation, and in addition to this we assume the function used in the formula to be continuous and weakly differentiable.

We will introduce the most essential stochastic and analysis prerequisites for proving the Itô formula as the main result. Regarding stochastic processes, we discuss the most common examples of Lévy processes and present their most important basic properties. We also define the Poisson random measure, whose important special case is jump measure. In addition, we present some famous stochastic results such as the Lévy-Itô decomposition and the Lévy-Khintchine formula.

Furthermore, as an important part of Itô's formula, we precisely define and construct the stochastic integral starting from simple processes and finally generalizing it into a wider range of processes. As a continuation of stochastic integration, we will take a closer look at an extension of the stochastic integral in terms of the Poisson random measure. Finally, we present and prove a version of Itô's formula, which uses as its assumptions a process fulfilling the finite variation condition, but, in contrast to the main result, assumes that the functions are weakly differentiable instead of only continuously differentiable.

Due to the assumption of weak differentiability, we also review some of the basic results of real and functional analysis. Particularly important for the main result are the results regarding distribution theory and weak differentiability. Finally, using this preliminary information and precisely specifying the assumptions, we prove in detail the version of Itô's formula, which is the main result of the thesis, in the case where the dimension is 1.