Brouwerin kiintopistelause

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on todistaa Brouwerin kiintopistelause tason suljetussa yksikköpallossa. Brouwerin kiintopistelauseen mukaan jokaisella jatkuvalla funktiolla tason suljetulta yksikköpallolta itselleen on kiintopiste. Johdannossa käydään läpi Brouwerin elämäkertaa. Keskitytään elämäkerran kuvailussa erityisesti Brouwerin akateemiseen uraan. Lisäksi johdannossa kuvaillaan lyhyesti tutkielman kappaleiden aiheita. Toisessa luvussa käsitellään lyhyesti perusmääritelmiä ja merkintöjä. Kolmannessa luvussa käsitellään tutkielmassa tarvittavia esitietoja topologisista avaruuksista. Määritellään topologisten avaruuksien peruskäsitteitä, kuten jatkuvuus, topologian kanta, yhtenäisyys ja kompaktius sekä todistetaan näihin liittyviä tuloksia. Neljännessä luvussa lähdetään tarkastelemaan topologisia avaruuksia abstraktin algebran käsitteiden, kuten ekvivalenssiluokkien kautta. Luvun alussa määritellään homotopia ja polkuhomotopia, jotka osoittautuvat ekvivalenssirelaatioiksi. Polkuhomotopia on jatkuva kuvaus, joka muuttaa topologisen avaruuden polun toiseksi poluksi niin, että polkujen yhteiset alku ja -päätepisteet pysyvät muunnoksessa muuttumattomina. Luvussa määritellään myös polkuhomotopian ekvivalenssirelaation ekvivalenssiluokkien välinen laskutoimitus ja nähdään, että tällä laskutoimituksella on hyvin samanlaisia ominaisuuksia kuin mitä aksioomia ryhmällä on. Viidennen luvun alussa määritellään topologisen avaruuden perusryhmä. Avaruuden perusryhmää varten kiinnitetään avaruudesta piste, jota kutsutaan avaruuden kantapisteeksi. Lisäksi määritellään silmukan olevan sellainen polku, jolla on sama alku- ja päätepiste. Tällöin avaruuden perusryhmä on kantapisteessä olevien silmukoiden polkuluokkien joukko varustettuna polkuluokkien välisellä laskutoimituksella. Tämän jälkeen luvussa käsitellään perusryhmän riippuvuutta kantapisteestä ja määritellään kuvaus, jonka avulla perusryhmä voidaan kuvata toiseksi perusryhmäksi. Määritellään myös kuvauksen indusoima homomorfismi. Luvun lopussa käsitellään vielä lyhyesti peiteavaruuksia, kuvausten nostoja sekä ympyrän perusryhmää. Kuudennessa luvussa määritellään aluksi retraktio. Retraktio on sellainen jatkuva kuvaus topologiselta avaruudelta saman topologisen avaruuden osajoukkoon, jonka rajoittuma tähän osajoukkoon on sama kuin identtinen kuvaus. Sitten todistetaan joitakin tuloksia liittyen retraktioihin. Luvun lopussa päästään todistamaan tutkielman päätulos, eli Brouwerin kiintopistelause tason suljetussa yksikköpallossa. Seitsemännessä ja tutkielman viimeisessä luvussa käsitellään kiintopistelauseiden historiaa sekä esitellään Banachin, Schauderin ja Browderin kiintopistelauseet. Luvun lopussa esitellään vielä kiintopistelauseiden sovelluksia niin teoreettisen kuin sovelletun matematiikan osa-alueilta.