Pintojen perusryhmistä
Tässä tutkielmassa osoitetaan ennestään tunnettu pintoihin liittyvä tulos, jonka mukaan epäkompaktin pinnan perusryhmä on vapaa. Todistus
pohjautuu tietoon siitä, että jokaisella pinnalla on olemassa niin sanottu
kolmiointi. Pinnan kolmiointia hyödyntäen pinta tyhjennetään sopivilla
sisäkkäisillä kompakteilla reunallisilla pinnoilla siten, että pinnan perus
ryhmä saadaan näiden kompaktien reunallisten pintojen sisäkkäisten pe
rusryhmien yhdisteenä. Kompakti reunallinen pinta osoitetaan homotopia
ekvivalentiksi graafin kanssa deformaatioretraktoimalla reunallinen pinta
graafiksi reunallisen pinnan kolmiointia hyödyntäen. Koska homotopiaekvi
valenttien avaruuksien perusryhmät ovat isomorfiset, saadaan kompaktin
reunallisen pinnan perusryhmä osoitettua vapaaksi osoittamalla, että graafin perusryhmä on vapaa ryhmä. Graafin perusryhmä osoitetaan vapaaksi
ryhmäksi käyttäen tietoa niin sanotun maksimaalisen puun olemassaolosta.
Todistuksessa käytetään lisäksi Van Kampenin teoreemaa, joka myös todistetaan. Tutkielman tulos sanoo, että esimerkiksi poistamalla kompaktilta
pinnalta topologinen Cantorin joukko saadaan pinta, jonka perusryhmä
on vapaa, mikä itsessään ei ole intuitiivisesti selvää.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [28907]
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Brouwerin kiintopistelause
Porkola, Jussi (2022)Tämän tutkielman tarkoituksena on todistaa Brouwerin kiintopistelause tason suljetussa yksikköpallossa. Brouwerin kiintopistelauseen mukaan jokaisella jatkuvalla funktiolla tason suljetulta yksikköpallolta itselleen on ... -
Iteratiiviset rekonstruktiomenetelmät röntgentomografiassa
Lyytinen, Tommi (2021)Iteratiiviset rekonstruktiomenetelmät ovat nousseet varteenotettaviksi vaihtoehdoiksi analyyttisen rekonstruktion rinnalle röntgentomografiassa, jossa suodatettu takaisinprojektio (FBP) on ollut laajasti käytetyin ... -
Tapaustutkimus 7.-luokkalaisten algebrallisesta yleistämisestä
Hiltunen, Jenna; Hähkiöniemi, Markus (Suomen ainedidaktinen tutkimusseura ry, 2015)Algebra on suomalaisten oppilaiden heikko alue. Toisaalta tutkimukset viittaavat siihen, että oppilaat voivat muodostaa algebrallisia ideoita tavanomaista aikaisemmin. Tämän tutkimuksen tavoitteena on selvittää, millaisia ... -
A damping preconditioner for time-harmonic wave equations in fluid and elastic material
Airaksinen, Tuomas; Pennanen, Anssi; Toivanen, Jari (Elsevier, 2009)A physical damping is considered as a preconditioning technique for acoustic and elastic wave scattering. The earlier preconditioners for the Helmholtz equation are generalized for elastic materials and three-dimensional ... -
An algebraic multigrid based shifted-Laplacian preconditioner for the Helmholtz equation
Airaksinen, Tuomas; Heikkola, Erkki; Pennanen, Anssi; Toivanen, Jari (Elsevier, 2007)A preconditioner defined by an algebraic multigrid cycle for a damped Helmholtz operator is proposed for the Helmholtz equation. This approach is well suited for acoustic scattering problems in complicated computational ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.