Näytä suppeat kuvailutiedot

dc.contributor.advisorNicolussi Golo, Sebastiano
dc.contributor.authorPesonen, Sofia
dc.date.accessioned2022-01-31T06:50:49Z
dc.date.available2022-01-31T06:50:49Z
dc.date.issued2022
dc.identifier.urihttps://jyx.jyu.fi/handle/123456789/79562
dc.description.abstractTässä tutkielmassa todistetaan Marstrandin projektiolause käyttäen apuna potentiaaliteoriaa. Projektiolauseen mukaan 2-ulotteisen Borel joukon ortogonaaliprojektion Hausdorffin dimensio on luvun 1 ja kyseisen Borel joukon dimension minimi melkein kaikkiin eri suuntiin. Intuitiivisesti lause kertoo, että joukon varjon dimensio on suurin mahdollinen. Marstrandin projektiolauseen todistamiseksi tutkielmassa rakennetaan teoria alkaen yleisen mittateorian perustuloksista. Mittateorian pohjalta määritellään Hausdorffin mitta, jonka avulla määritellään joukon Hausdorffin dimensio. Intuitiivisesti Hausdorffin dimensio kuvaa joukon geometrista kokoa ja se on yksikäsitteinen jokaiselle joukolle. Hausdorffin dimensio mahdollistaa monimutkaisten joukkojen, kuten fraktaalien, geometrian tutkimisen. Lisäksi esitellään dimensioihin liittyviä merkintöjä ja tapoja arvioida joukon Hausdorffin dimension suuruutta. Tutkielman lopussa esitellään algoritminen menetelmä, jonka avulla voidaan muodostaa esimerkkejä fraktaaleista. Lopuksi sovelletaan Marstrandin projektiolausetta erilaisiin joukkoihin. John Marstrand todisti projektiolauseen vuonna 1954. Robert Kaufman todsti tuloksen käyttäen potentiaaliteoriaa vuonna 1968. Myöhemmin Kenneth Falconer esitteli Kaufmania mukaillen potentiaaliteoriaan perustuvan todistuksen. Tässä tutkielmassa esitellään kyseinen todistus yksityiskohtaisemmin. Marstrandin projektiolause tuli tunnetuksi, kun Mandelbrot popularisoi fraktaalin käsitteen 1970-luvulla. Lause voidaan yleistää korkeampiin dimensioihin ja se on tärkeä työkalu fraktaalien geometrian tarkastelussa. Vaikka lause on tunnettu pitkään, siihen liittyy edelleen avoimia ongelmia.fi
dc.description.abstractIn this thesis we prove Marstrand's projection theorem using potential theoretical methods. Projection theorem claims that the Hausdorff dimension of the orthogonal projection of a Borel set in $\mathbb{R}^2$ is the minimum between 1 and the dimension of the set for almost all angles. Intuitively, the theorem gives that the shadow of the set has the highest possible dimension. This result was first proven by John Marstrand in 1954 and it became well known after Mandelbrot popularized the notion of fractal in the 1970s. Marstrand’s theorem has generalizations to higher dimensions and it is an important tool to look into the geometry of fractals. Although the theorem has been known for long time, there are still open problems related to it.en
dc.format.extent41
dc.language.isoen
dc.titleDimension of projection : Marstrand's theorem
dc.identifier.urnURN:NBN:fi:jyu-202201311329
dc.type.ontasotMaster’s thesisen
dc.type.ontasotPro gradu -tutkielmafi
dc.contributor.tiedekuntaMatemaattis-luonnontieteellinen tiedekuntafi
dc.contributor.tiedekuntaFaculty of Sciencesen
dc.contributor.laitosMatematiikan ja tilastotieteen laitosfi
dc.contributor.laitosDepartment of Mathematics and Statisticsen
dc.contributor.yliopistoJyväskylän yliopistofi
dc.contributor.yliopistoUniversity of Jyväskyläen
dc.contributor.oppiaineMatematiikan opettajankoulutusfi
dc.contributor.oppiaineTeacher education programme in Mathematicsen
dc.rights.copyrightJulkaisu on tekijänoikeussäännösten alainen. Teosta voi lukea ja tulostaa henkilökohtaista käyttöä varten. Käyttö kaupallisiin tarkoituksiin on kielletty.fi
dc.rights.copyrightThis publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.en
dc.rights.accesslevelopenAccess
dc.contributor.oppiainekoodi4041
dc.subject.ysomatematiikka
dc.subject.ysomittateoria
dc.subject.ysofraktaalit
dc.subject.ysoulottuvuus
dc.subject.ysomathematics
dc.subject.ysomeasure theory
dc.subject.ysofractals
dc.subject.ysodimension
dc.rights.accessrights


Aineistoon kuuluvat tiedostot

Thumbnail

Aineisto kuuluu seuraaviin kokoelmiin

Näytä suppeat kuvailutiedot