Dimension of projection : Marstrand's theorem

Abstract

Tässä tutkielmassa todistetaan Marstrandin projektiolause käyttäen apuna potentiaaliteoriaa. Projektiolauseen mukaan 2-ulotteisen Borel joukon ortogonaaliprojektion Hausdorffin dimensio on luvun 1 ja kyseisen Borel joukon dimension minimi melkein kaikkiin eri suuntiin. Intuitiivisesti lause kertoo, että joukon varjon dimensio on suurin mahdollinen.

Marstrandin projektiolauseen todistamiseksi tutkielmassa rakennetaan teoria alkaen yleisen mittateorian perustuloksista. Mittateorian pohjalta määritellään Hausdorffin mitta, jonka avulla määritellään joukon Hausdorffin dimensio. Intuitiivisesti Hausdorffin dimensio kuvaa joukon geometrista kokoa ja se on yksikäsitteinen jokaiselle joukolle. Hausdorffin dimensio mahdollistaa monimutkaisten joukkojen, kuten fraktaalien, geometrian tutkimisen. Lisäksi esitellään dimensioihin liittyviä merkintöjä ja tapoja arvioida joukon Hausdorffin dimension suuruutta. Tutkielman lopussa esitellään algoritminen menetelmä, jonka avulla voidaan muodostaa esimerkkejä fraktaaleista. Lopuksi sovelletaan Marstrandin projektiolausetta erilaisiin joukkoihin.

John Marstrand todisti projektiolauseen vuonna 1954. Robert Kaufman todsti tuloksen käyttäen potentiaaliteoriaa vuonna 1968. Myöhemmin Kenneth Falconer esitteli Kaufmania mukaillen potentiaaliteoriaan perustuvan todistuksen. Tässä tutkielmassa esitellään kyseinen todistus yksityiskohtaisemmin. Marstrandin projektiolause tuli tunnetuksi, kun Mandelbrot popularisoi fraktaalin käsitteen 1970-luvulla. Lause voidaan yleistää korkeampiin dimensioihin ja se on tärkeä työkalu fraktaalien geometrian tarkastelussa. Vaikka lause on tunnettu pitkään, siihen liittyy edelleen avoimia ongelmia.

In this thesis we prove Marstrand's projection theorem using potential theoretical methods. Projection theorem claims that the Hausdorff dimension of the orthogonal projection of a Borel set in $\mathbb{R}^2$ is the minimum between 1 and the dimension of the set for almost all angles. Intuitively, the theorem gives that the shadow of the set has the highest possible dimension. This result was first proven by John Marstrand in 1954 and it became well known after Mandelbrot popularized the notion of fractal in the 1970s. Marstrand’s theorem has generalizations to higher dimensions and it is an important tool to look into the geometry of fractals. Although the theorem has been known for long time, there are still open problems related to it.