Existence of weak solutions of mean-field stochastic differential equations

Abstract

Tässä tutkielmassa käsittelemme odotusarvokentällisiä stokastisia differentiaaliyhtälöitä, mitkä ovat yleistys klassisille stokastisille differentiaaliyhtälöille. Odotusarvokentällisen stokastisen differentiaaliyhtälön kerroinfunktiot saattavat riippua ylimääräisestä mittakomponentista ratkaisun jakauman muodossa. Käsittelemme heikkojen ratkaisujen olemassaoloa tällaisille yhtälöille olettaen, että kerroinfunktiot ovat rajoitettuja ja jatkuvia, missä jatkuvuus mittakomponentin suhteen ymmärretään jatkuvuutena 2-Wasserstein metriikan suhteen. Seuraamme artikkelia Li, J. ja Min, H. Weak solutions of mean-field stochastic differential equations (2017). Aloitamme palauttamalla mieliimme joitakin keskeisiä käsitteitä stokastisesta analyysistä. Tämän jälkeen esittelemme polkuavaruuden, klassisen lokaalin martingaaliongelman ja funktionaaliset stokastiset differentiaaliyhtälöt. Lisäksi esittelemme Wassersteinin mittojen avaruudet ja funktioiden differentioituvuuden mittakomponentin suhteen. Lopuksi osoitamme heikkojen ratkaisujen olemassaolon odotusarvokentällisille stokastisille differentiaaliyhtälöille olettaen, että kerroinfunktiot ovat rajoitettuja, mitallisia ja jatkuvia. Tämä tehdään näyttämällä, että vastaavalla lokaalilla martingaaliongelmalla on olemassa ratkaisu.

In this thesis we consider mean-field stochastic differential equations, which are an extension of classical stochastic differential equations, where the coefficients may depend on an additional measure component in the law of the solution. We consider the existence of weak solutions of such equations under the assumption that the coefficients are bounded and continuous, where the continuity is understood in the 2-Wasserstein metric in the measure component. We follow the treatment given in the article of Li, J. and Min, H., Weak solutions of mean-field stochastic differential equations (2017). We start by recalling some fundamental notions from stochastic analysis. Then we introduce the path space, along with the classical local martingale problem and functional stochastic differential equations. Furthermore we introduce the Wasserstein spaces of measures and how to differentiate functions depending on a measure variable. Finally we show the existence of weak solutions to mean-field stochastic differential equations under bounded, measurable and continuous coefficients by showing that there exists a solution to the corresponding local martingale problem.