The Black-Scholes model and risk-sensitive asset management

Abstract

Optiohinnoittelun teoria on keskeisessä osassa tutkielmaamme ja tavoitteenamme on saada optiohinnoittelun teoriaa käyttäen teoreettinen estimaatti option reilusta hinnoittelusta. Tätä option reilua hintaa sijoittajat voivat käyttää myöhemmin salkkujensa arvon maksimointiin. Yksi kuuluisimmista malleista optioiden hinnoittelussa on Black-Scholes-malli.

Black-Scholes-malli on keskeisessä roolissa modernissa finanssiteoriassa ja on käytössä myös tällä hetkellä. Mallin käyttämisessä yksi suurimmista eduista on, että malli riippuu ainoastaan yhdestä ei havaittavissa olevasta parametrista "sigma" nimeltään volatiliteetti. Tämä huomataan tutkielmassa johdettaessa Black-Scholes-yhtälöä. Tämän volatiliteetin johtamiseen on olemassa myös keinoja, mutta emme keskity niihin tutkielman aikana.

Oletamme tutkielman aikana, että volatiliteetti pysyy vakiona, jotta laskut voitaisiin tehdä. Tämä ei kuitenkaan vastaa oikeaa tilannetta sijoittamisessa, sillä volatiliteetti voi vaihdella ajan kuluessa. Black-Scholes-yhtälöä johdettaessa oletamme myös, että sijoittaessa ei ilmaannu veroja tai rahansiirron aikana tulevia kustannuksia. Lisäksi tutkimme Black-Scholes-mallissa ainoastaan Euroopan optioita, koska kyseisessä mallissa optiot voidaan suorittaa ainoastaan niiden ennalta säädellyn viimeisen käyttöpäivän ajanhetkellä.

Tutkimuksemme koostuu kahdesta päätavoitteesta. Näistä ensimmäinen on Euroopan put ja call optioiden reilun hinnan määrittäminen, jolla tarkoitetaan, että kenenkään ei tulisi saada riskitöntä voittoa. Tämän tavoitteen suorittamista varten käytämme Black-Scholes-mallia. Aloitamme mallin esittelyllä kappaleessa 5 ja jatkamme tästä esittelemällä todennäköisyysmitan vaihtamisen kappaleessa 6. Kolmannessa kappaleessa on esitelty tärkeimmät stokastiikan perustyökalut laskemista varten. Koska stokastinen integrointi on tärkeässä roolissa tutkielmassamme, esittelemme myös yhden kuuluisimmista stokastisista integraaleista nimeltä Ito integraali. Stokastinen integrointi ja Iton lause esitellään neljännessä kappaleessa. Kappaleessa 7 käytämme aiemmin esittelemiämme teorioita, kuten todennäköisyysmitan vaihtoa ja stokastista laskentaa, Black-Scholes-yhtälön ratkaisemiseen.

Kuten ensimmäisessä päätavoitteessa, oletamme myös toisessa päätavoitteessamme, että mahdollisia veroja tai rahansiirron kustannuksia ei ole. Toisen päätavoitteen tarkoituksena on mallintaa optimaalista investoimista. Tässä meillä on käytössä yleisempi malli, joka koostuu monesta erilaisesta riskialttiista komponentista ja riskittömästä sijoittajan omaisuudesta pankkitilillä. Valitsemme sopivan rahastohallinnon ja yritämme löytää sille optimaalisen strategian h^* maksimoimalla valitun apuväline funktion. Apuväline funktioita (utility function) on valittavana monenlaisia ja siten yhtä oikeaa valintaa ei voi määritellä. Tutkimusta tehdessä valitsemme usein funktion, jota on matemaattisesti helppo käsitellä ja jolla on mielekkäitä matemaattisia ominaisuuksia.

Option pricing theory is a concept where we aim to value an option theoretically by using variables such as stock price, exercise price, volatility, interest rate and expiration date. By using option pricing theory we can obtain the theoretical estimation of an options fair value which can be used later by, for example, traders to maximize profits. One commonly used model in option pricing that we are going to introduce is called the Black-Scholes model.

The Black-Scholes model has a big role in the modern financial theory and is still widely used today. This model was first developed in 1973 by Fischer Black, Robert Merton and Myron Scholes. Due to its success the creators of the model Robert Merton and Myron Scholes were even given the Nobel price award. Fisher Black were also in close collaboration with Robert Merton and Myron Scholes but since he died before the Noble price was granted he did not have enough time to get the reward. One of the main features of the Black-Scholes model is that the pricing formula depends only on one non-observable parameter "sigma", the so called volatility. The volatility can be evaluated for example by using the historical method or the implied method. This is one of the main reasons behind the success of the Black-Scholes formula.

The focus of the thesis is the modelling of the two basic activities on a financial market. The first one we discuss is the option pricing and the second one is the optimal investment. The prices of both of these activities on certain underlyings are modelled by the same processes, exponential diffusion processes, and both actions can be performed on the same underlyings at the same time.

To be more precise we have two main objectives to accomplish. The first one is to determine a fair price for the European call and put options, which is done by using the Black-Scholes model. We start by introducing our model in chapter 5 and then continue by introducing the change of measure technique in the chapter 6. The basic tools needed for the computations are in the third chapter. Since stochastic integration is used in our theorems we also introduce one of the most popular stochastic integrals, the Ito integral, ensuring the foundation for our theorems and main results. Stochastic integration and Ito's formula will be introduced in the fourth chapter. In chapter 7 we finally show that how one can derive the Black-Scholes formula by using the change of measure technique and stochastic calculus.

In the final part our second objective is to find the most suitable strategy for a given utility function. Like in the Black-Scholes model we also need to assume that there are no transaction costs or taxes but in this case we can have many possible solutions depending on the utility function. We consider the Risk-sensitive asset management criterion in the special case, where asset and factor risks are not correlated. Here our main objective is to maximise the expected log return of the portfolio by using the risk-sensitive asset management criterion. This criterion is known for giving penalty for high variance, negative skewness and high kurtosis while rewarding positive skewness (see \cite{Mark} Chapter 2.2).

Choosing logarithm of the portfolio value as a reward function provides us with a setting where the calculations can be carried out. This leads to a risk-sensitive asset management criterion, which is a great choice when managing portfolio value. For example this criterion works well with Markowitz' mean-variance analysis. and is consistent with utility theory (see \cite{Mark} Chapter 2.2). We can also show that the risk-sensitive asset management criterion is a log coherent optimization criterion meaning that is satisfies the four axioms that we are going to introduce in the chapter 8. The Appendix part discusses existence and uniqueness of solutions for the SDEs we use in the Risk-sensitive asset management part.