The Black-Scholes model and risk-sensitive asset management

Optiohinnoittelun teoria on keskeisessä osassa tutkielmaamme ja tavoitteenamme on saada optiohinnoittelun teoriaa käyttäen teoreettinen estimaatti option reilusta hinnoittelusta. Tätä option reilua hintaa sijoittajat voivat käyttää myöhemmin salkkujensa arvon maksimointiin. Yksi kuuluisimmista malleista optioiden hinnoittelussa on Black-Scholes-malli. Black-Scholes-malli on keskeisessä roolissa modernissa finanssiteoriassa ja on käytössä myös tällä hetkellä. Mallin käyttämisessä yksi suurimmista eduista on, että malli riippuu ainoastaan yhdestä ei havaittavissa olevasta parametrista "sigma" nimeltään volatiliteetti. Tämä huomataan tutkielmassa johdettaessa Black-Scholes-yhtälöä. Tämän volatiliteetin johtamiseen on olemassa myös keinoja, mutta emme keskity niihin tutkielman aikana. Oletamme tutkielman aikana, että volatiliteetti pysyy vakiona, jotta laskut voitaisiin tehdä. Tämä ei kuitenkaan vastaa oikeaa tilannetta sijoittamisessa, sillä volatiliteetti voi vaihdella ajan kuluessa. Black-Scholes-yhtälöä johdettaessa oletamme myös, että sijoittaessa ei ilmaannu veroja tai rahansiirron aikana tulevia kustannuksia. Lisäksi tutkimme Black-Scholes-mallissa ainoastaan Euroopan optioita, koska kyseisessä mallissa optiot voidaan suorittaa ainoastaan niiden ennalta säädellyn viimeisen käyttöpäivän ajanhetkellä. Tutkimuksemme koostuu kahdesta päätavoitteesta. Näistä ensimmäinen on Euroopan put ja call optioiden reilun hinnan määrittäminen, jolla tarkoitetaan, että kenenkään ei tulisi saada riskitöntä voittoa. Tämän tavoitteen suorittamista varten käytämme Black-Scholes-mallia. Aloitamme mallin esittelyllä kappaleessa 5 ja jatkamme tästä esittelemällä todennäköisyysmitan vaihtamisen kappaleessa 6. Kolmannessa kappaleessa on esitelty tärkeimmät stokastiikan perustyökalut laskemista varten. Koska stokastinen integrointi on tärkeässä roolissa tutkielmassamme, esittelemme myös yhden kuuluisimmista stokastisista integraaleista nimeltä Ito integraali. Stokastinen integrointi ja Iton lause esitellään neljännessä kappaleessa. Kappaleessa 7 käytämme aiemmin esittelemiämme teorioita, kuten todennäköisyysmitan vaihtoa ja stokastista laskentaa, Black-Scholes-yhtälön ratkaisemiseen. Kuten ensimmäisessä päätavoitteessa, oletamme myös toisessa päätavoitteessamme, että mahdollisia veroja tai rahansiirron kustannuksia ei ole. Toisen päätavoitteen tarkoituksena on mallintaa optimaalista investoimista. Tässä meillä on käytössä yleisempi malli, joka koostuu monesta erilaisesta riskialttiista komponentista ja riskittömästä sijoittajan omaisuudesta pankkitilillä. Valitsemme sopivan rahastohallinnon ja yritämme löytää sille optimaalisen strategian h^* maksimoimalla valitun apuväline funktion. Apuväline funktioita (utility function) on valittavana monenlaisia ja siten yhtä oikeaa valintaa ei voi määritellä. Tutkimusta tehdessä valitsemme usein funktion, jota on matemaattisesti helppo käsitellä ja jolla on mielekkäitä matemaattisia ominaisuuksia.