Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Authors
Date
2018Copyright
This publication is copyrighted. You may download, display and print it for Your own personal use. Commercial use is prohibited.
Tässä tutkielmassa luokitellaan äärelliset ryhmät isomorfiaa vaille kertalukuun $15$ asti. Lisäksi tutkielma tarjoaa menetelmiä, joita soveltamalla äärellisten ryhmien luokittelua olisi mahdollista jatkaa myös suurempien kertalukujen tapauksessa. Äärellisten ryhmien luokittelussa keskiöön nousevat Sylowin lauseet, joiden avulla voidaan analysoida äärellisten ryhmien rakenteita.
Lagrangen lauseen mukaan äärellisen ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Sen käänteinen tulos ei yleisesti päde, mutta Sylowin ensimmäisessä lauseessa käänteinen saadaan pätemään sellaisille alkuluvun $p$ potensseille $p^k$, jotka jakavat ryhmän kertaluvun. Tällöin on siis olemassa äärellisen ryhmän aliryhmä, jonka kertaluku on $p^k$. Jos tämä kertaluku $p^k$ on suurin sellainen alkuluvun $p$ potenssi, joka jakaa ryhmän kertaluvun, aliryhmää sanotaan Sylowin $p$-aliryhmäksi. Tällöin voidaan muotoilla Sylowin toinen lause, jonka mukaan äärellisen ryhmän Sylowin $p$-aliryhmät konjugoivat keskenään. Edelleen voidaan osoittaa, että tällaiset Sylowin $p$-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Sylowin kolmas lause antaa puolestaan ehtoja näiden Sylowin $p$-aliryhmien lukumäärälle. Sen mukaan Sylowin $p$-aliryhmien lukumäärä jakaa ryhmän kertaluvun ja voidaan kirjoittaa muodossa $1+pk$ jollekin $k=0, 1, 2, \ldots$.
Tutkielmassa luokitellaan ensin kaikki äärelliset Abelin ryhmät. Kyseiset ryhmät voidaan luokitella ilman Sylowin lauseiden apua, mutta niiden rakenteet noudattavat kuitenkin Sylowin lauseita. Tämän jälkeen siirrytään Sylowin lauseisiin, joita soveltaen päädytään luokittelemaan yleisesti äärellisiä ryhmiä. Lopuksi kootaan ja viimeistellään äärellisten ryhmien luokittelu isomorfiaa vaille kertalukuun $15$ asti.
...
![showless](/themes/JYX2//images/showless.png)
![showmore](/themes/JYX2//images/showmore.png)
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28992]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Äärellisten ryhmien luokittelusta
Aittoniemi, Elina (2024)Tämän sivututkielman tarkoituksena on luokitella äärellisiä ryhmiä isomorfialla kertalukuun 21 saakka. Luokittelussa hyödynnetään muun muassa Lagrangen ja Cauchyn lauseita sekä myöhemmin Sylowin lauseita. Nämä antavat ... -
Äärellisesti viritettyjen ryhmien kasvunopeus, hyperbolisuus ja päätyjen lukumäärä
Räty, Joona (2022)Tämän tutkielman tavoitteena on tutkia ryhmiä geometrian avulla. Tähän tarkoitukseen esitellään ryhmän Cayleyn kaavio, joka on jonkin ryhmän virittäjäjoukon pohjalta muodostettu graafi. Cayleyn kaaviosta saadaan luonnollisella ... -
On the nonarchimedean quadratic Lagrange spectra
Parkkonen, Jouni; Paulin, Frédéric (Springer Berlin Heidelberg, 2020)We study Diophantine approximation in completions of functions fields over finite fields, and in particular in fields of formal Laurent series over finite fields. We introduce a Lagrange spectrum for the approximation by ... -
The minimal number of generators for ideals in commutative rings
Pirnes, Erika (2018)Olkoon R kommutatiivinen rengas. Tämän tutkielman tarkoituksena on etsiä ylä- ja alarajat äärellisviritteisen ideaalin I = (a1, . . . , an) ⊂ R minimaaliselle virittäjämäärälle. Tärkeänä työkaluna toimii moduliteoria; ... -
Pääideaalialueen moduulien päälause
Lehtikangas, Vilppu (2021)Tämän tutkielman tarkoituksena on rakentaa moduulien teoria ryhmä- ja rengasteorian alkeista lähtien, sekä osoittaa pääideaalialueiden moduulien päälause. Moduuli on joukko G varustettuna yhteenlaskutoimituksella, joka ...