Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa

Abstract

Tässä tutkielmassa luokitellaan äärelliset ryhmät isomorfiaa vaille kertalukuun $15$ asti. Lisäksi tutkielma tarjoaa menetelmiä, joita soveltamalla äärellisten ryhmien luokittelua olisi mahdollista jatkaa myös suurempien kertalukujen tapauksessa. Äärellisten ryhmien luokittelussa keskiöön nousevat Sylowin lauseet, joiden avulla voidaan analysoida äärellisten ryhmien rakenteita.

Lagrangen lauseen mukaan äärellisen ryhmän aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun. Sen käänteinen tulos ei yleisesti päde, mutta Sylowin ensimmäisessä lauseessa käänteinen saadaan pätemään sellaisille alkuluvun $p$ potensseille $p^k$, jotka jakavat ryhmän kertaluvun. Tällöin on siis olemassa äärellisen ryhmän aliryhmä, jonka kertaluku on $p^k$. Jos tämä kertaluku $p^k$ on suurin sellainen alkuluvun $p$ potenssi, joka jakaa ryhmän kertaluvun, aliryhmää sanotaan Sylowin $p$-aliryhmäksi. Tällöin voidaan muotoilla Sylowin toinen lause, jonka mukaan äärellisen ryhmän Sylowin $p$-aliryhmät konjugoivat keskenään. Edelleen voidaan osoittaa, että tällaiset Sylowin $p$-aliryhmät ovat keskenään isomorfisia. Sylowin kolmas lause antaa puolestaan ehtoja näiden Sylowin $p$-aliryhmien lukumäärälle. Sen mukaan Sylowin $p$-aliryhmien lukumäärä jakaa ryhmän kertaluvun ja voidaan kirjoittaa muodossa $1+pk$ jollekin $k=0, 1, 2, \ldots$.

Tutkielmassa luokitellaan ensin kaikki äärelliset Abelin ryhmät. Kyseiset ryhmät voidaan luokitella ilman Sylowin lauseiden apua, mutta niiden rakenteet noudattavat kuitenkin Sylowin lauseita. Tämän jälkeen siirrytään Sylowin lauseisiin, joita soveltaen päädytään luokittelemaan yleisesti äärellisiä ryhmiä. Lopuksi kootaan ja viimeistellään äärellisten ryhmien luokittelu isomorfiaa vaille kertalukuun $15$ asti.