Projektiivinen geometria

Abstract

Tässä tutkielmassa käsittellään projektiivista geometriaa aksioomien ja mallien kautta. Tutkielma keskittyy pääasiassa äärellisiin projektiivisiin geometrioihin ja niistä erityisesti tasogeometriaan. Tutkielmassa luodaan kirjallisuuskatsaus projektiivisen geometrian alkuvaiheiden kautta aksioomajärjestelmän luomiseen ja päätyen tutustumaan yksinkertaisimpiin malleihin projektiiviselta tasolta. Samalla tulee todistettua myös projektiivisen geometrian peruslause ja tutustuttua projektiivisen geometrian hyödyllisyyteen käsiteltäessä euklidisen geometrian tilanteita. Euklidisessa geometriassa vallitsevia lauseita voidaan nimittäin tulkita projektiivisessa geometriassa ja tällöin projektiivisen geometrian ominaisuudet mahdollistavat todistusten huomattavan yksinkertaistamisen. Tutkielman viimeisessa kappaleessa on esimerkkeinä tästä käsittelyssä Desarguesin ja Pappusin lauseet.

Projektiivisen geometrian tutkimuksen voidaan katsoa alkaneen jo 1400-luvulla kuvataiteessa ilmenneiden ongelmien seurauksena. Kuvataiteilijat halusivat löytää yhä parempia keinoja taltioida maailmaa mahdollisimman realistisen näköisenä maalauskankaalle ja tässä huomattiin perspektiivisestä tarkastelusta olevan huomattavaa hyötyä. Ala on sen jälkeen kehittynyt sykäyksittäin, kunnes lopulta on voitu todeta kyseessä olevan täysin oma geometriansa toimivine aksioomajärjestelmineen.

Projektiivisen geometrian suurin ero euklidiseen geometriaan on paralleeliaksiooman puuttuminen. Näin ollen projektiivisessa geometriassa mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa jossain pisteessä. Euklidisen geometrian yhdensuuntaisia suoria vastaavien suorien leikkauspiste sijaitsee äärettömyydessä ja siitä käytetään nimitystä ideaalipiste. Ideaalipisteitä ja ideaalipisteiden muodostamaa suoraa voidaan tutkia algebrallisesti yhdessä muiden pisteiden ja suorien kanssa käyttämällä hyväksi homogeenisiä koordinaatteja, joihin tutustutaan myös tässä tutkielmassa.

Tämän tutkielman keskiössä ovat Rey Cassen ja David Brannanin teokset projektiivisesta geometriasta. Tutkielmassa esitetty projektiivisen geometrian aksioomajärjestelmä on Rey Cassen muotoilema. Myös hieman eri tavalla muotoiltuja, mutta yhtäpitäviä versioita on julkaistu.