Projektiivinen geometria
Tässä tutkielmassa käsittellään projektiivista geometriaa aksioomien ja mallien kautta. Tutkielma keskittyy pääasiassa äärellisiin projektiivisiin geometrioihin ja niistä erityisesti tasogeometriaan. Tutkielmassa luodaan kirjallisuuskatsaus projektiivisen geometrian alkuvaiheiden kautta aksioomajärjestelmän luomiseen ja päätyen tutustumaan yksinkertaisimpiin malleihin projektiiviselta tasolta. Samalla tulee todistettua myös projektiivisen geometrian peruslause ja tutustuttua projektiivisen geometrian hyödyllisyyteen käsiteltäessä euklidisen geometrian tilanteita. Euklidisessa geometriassa vallitsevia lauseita voidaan nimittäin tulkita projektiivisessa geometriassa ja tällöin projektiivisen geometrian ominaisuudet mahdollistavat todistusten huomattavan yksinkertaistamisen. Tutkielman viimeisessa kappaleessa on esimerkkeinä tästä käsittelyssä Desarguesin ja Pappusin lauseet.
Projektiivisen geometrian tutkimuksen voidaan katsoa alkaneen jo 1400-luvulla kuvataiteessa ilmenneiden ongelmien seurauksena. Kuvataiteilijat halusivat löytää yhä parempia keinoja taltioida maailmaa mahdollisimman realistisen näköisenä maalauskankaalle ja tässä huomattiin perspektiivisestä tarkastelusta olevan huomattavaa hyötyä. Ala on sen jälkeen kehittynyt sykäyksittäin, kunnes lopulta on voitu todeta kyseessä olevan täysin oma geometriansa toimivine aksioomajärjestelmineen.
Projektiivisen geometrian suurin ero euklidiseen geometriaan on paralleeliaksiooman puuttuminen. Näin ollen projektiivisessa geometriassa mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa jossain pisteessä. Euklidisen geometrian yhdensuuntaisia suoria vastaavien suorien leikkauspiste sijaitsee äärettömyydessä ja siitä käytetään nimitystä ideaalipiste. Ideaalipisteitä ja ideaalipisteiden muodostamaa suoraa voidaan tutkia algebrallisesti yhdessä muiden pisteiden ja suorien kanssa käyttämällä hyväksi homogeenisiä koordinaatteja, joihin tutustutaan myös tässä tutkielmassa.
Tämän tutkielman keskiössä ovat Rey Cassen ja David Brannanin teokset projektiivisesta geometriasta. Tutkielmassa esitetty projektiivisen geometrian aksioomajärjestelmä on Rey Cassen muotoilema. Myös hieman eri tavalla muotoiltuja, mutta yhtäpitäviä versioita on julkaistu.
...
Asiasanat
Metadata
Näytä kaikki kuvailutiedotKokoelmat
- Pro gradu -tutkielmat [29740]
Lisenssi
Samankaltainen aineisto
Näytetään aineistoja, joilla on samankaltainen nimeke tai asiasanat.
-
Eukleideen geometriaa
Joutsen, Elina (2018)Eukleides Aleksandrialainen oli kreikkalainen matemaatikko, joka loi noin 300 eaa. euklidisen geometrian. Hän julkaisi euklidisen geometrian perustana olevat aksioomat ja perusolettamukset teoksessaan Alkeet. Eukleideen ... -
Taksigeometria
Raatikainen, Jutta (2019)Tutkielma käsittelee taksigeometrian alkeita ja Hilbertin aksioomajärjestelmää. Lisäksi tutkielmassa tutustutaan toisen asteen käyriin ja isometrioihin taksigeometriassa. -
Visuaalinen tangentti lukion pitkässä matematiikassa
Sauramäki, Arja (2017)Opinnäytetyössä selvitellään lukion pitkän matematiikan opiskelijoiden käsityksiä visuaalisesta tangenttisuorasta (lyh. tangentista). Työ sisältää tietokoosteen tutkielman aihepiirin visuaalisesta tangentista. Lukio-opiskelijoiden ... -
Toisen asteen imaginääristen lukukuntien perusalueet hyperbolisessa avaruudessa
Toivonen, Jaakko (2024)Tässä tutkielmassa käsitellään toisen asteen imaginääristen lukukuntien luokkaluvun yhteyttä kunnan kokonaislukurenkaan virittämän hyperbolisen avaruuden isometrioiden ryhmän PSL2(OK) eli Bianchin ryhmän muodostamaan ...
Ellei toisin mainittu, julkisesti saatavilla olevia JYX-metatietoja (poislukien tiivistelmät) saa vapaasti uudelleenkäyttää CC0-lisenssillä.