Pinta-ala euklidisessa tasogeometriassa

Abstract

Tässä tutkielmassa tutkitaan pinta-alaa euklidisessa tasogeometriassa kahden eri lähtökohdan kautta. Perusideana on tarkastella kahden eri monikulmion samakokoisuutta pinta-alafunktion sekä osittamisen näkökulmasta. Aluksi oletetaan pinta-alafunktion olemassaolo ja myöhemmin perehdytään sen olemassaolon todistamiseen, joka on yksi työn päätuloksista.

Pinta-alalle määritellään täsmällinen käsite, pinta-alafunktio, jolle pätee neljä ominaisuutta. Näiden ominaisuuksien avulla pystytään todistamaan aikaisemmin koulusta tuttuja geometrian tuloksia kuten esimerkiksi suorakulmaisen kolmion ja suorakulmion pinta-alojen kaavat sekä Pythagoraan lause.

Kahden eri monikulmion samankokoisuutta voidaan tarkastella myös toisella tavalla, monikulmioiden osittamisella. Käytännön ongelma osittamisessa on se, kuinka pilkkoa monikulmio osiin, uudelleen järjestää nämä osat ja muodostaa haluttu monikulmio, jolla on sama pinta-ala kuin alkuperäisellä monikulmiolla. Työn toinen päätulos Wallacen, Bolyain ja Gerwienin lause kertoo, että kaksi monikulmiota voidaan pilkkoa samanlaisiin osiin, joista voidaan muodostaa toinen monikulmio, jos ja vain jos monikulmioiden pinta-alat ovat yhtä suuret. Lauseen havainnollistamiseksi näytetään, miten tasasivuinen kolmio ositetaan neliöksi ja miten Pythagoraan lause todistetaan osittamisella.

Pinta-alan tutkimisen lisäksi työssä todistetaan pinta-alan olemassaolo. Pinta-alan olemassaolo tarkoittaa sitä, että on todella olemassa pinta-alafunktio, joka täyttää määritelmän ehdot. Sekaannuksen välttämiseksi määritellään toinen käsite, kaava-ala (engl. formula area). Tarkoituksena on näyttää, että kaava-alafunktio on hyvin määritelty ja sille pätee samat ominaisuudet kuin pinta-alafunktiolle.