Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä
Tutkielmassa tarkastellaan ensin Riemannin integraalia ja sen ongelmia rajankäyntitilanteissa. Suurin ongelma rajankäynnissä on, että Riemannintegraalien
jonon raja-arvo ei välttämättä aina ole sama kuin rajafunktion
Riemann-integraali. Lisäksi todetaan, että Riemann-integroituvien funktioiden
joukko on melko pieni. Seuraavana esitellään porrasfunktioiden integraali
ominaisuuksineen. Tämän jälkeen perehdytään Riemann-integroituvien
funktioiden luokkaa suurempaan yläfunktioiden luokkaan L+ ja lisäksi osoitetaan,
että Riemann-integroituvat funktiot kuuluvat yläfunktioiden luokkaan.
Yläfunktioiden luokan esittelyn jälkeen määritellään Lebesguen integraali
ja perehdytään sen ominaisuuksiin. Lebesguen integraali määritellään
Rieszin määritelmän mukaan, sillä se on tiivistetympi, suoraviivaisempi
ja johtaa nopeammin asian ytimeen kuin Lebesguen alkuperäinen määritelmä.
Lisäksi laajennetaan yläfunktioiden luokka Lebesgue-integroituvien
funktioiden luokkaan L ja osoitetaan tämän olevan selvästi suurempi kuin
yläfunktioiden luokka.
Viimeisessä kappaleessa perehdytään Lebesguen integraalin rajankäyntiin
monotonisen konvergenssin lauseen ja dominoidun konvergenssin
lauseen avulla. Dominoidun konvergenssin lause on yksi Lebesguen integraalin
tärkeimmistä tuloksista. Tiivistetysti konvergenssilauseiden sanoma on,
että integroinnin ja rajankäynnin järjestystä voidaan vaihtaa.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [29105]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta
Ojalehto, Jennika (2016)Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sisältöön ja Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä ja tason joukossa, joita käytetään muun muassa tutkittaessa funktion Riemann-\hskip0pt integroituvuutta. ... -
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ... -
Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity
Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ... -
Joukon koon arviointi numeroituvuuden, Bairen kategorian, Lebesguen mitan ja Hausdorff-dimension kautta
Martikainen, Camilla (2016) -
Lebesguen mitan kiertoinvarianttisuus ja Hausdorffin mitta
Salo, Henna-Kaisa (2019)Tämän tutkielman tarkoituksena on osoittaa, että Lebesguen mitta on kiertoinvariantti, sekä esitellä lukijalle Hausdorffin mitta ja sen ominaisuuksia. Lebesguen mitan kiertoinvarianttisuuden todistus vaatii paljon esitietoja, ...