University of Jyväskylä | JYX Digital Repository

  • English  | Give feedback |
    • suomi
    • English
 
  • Login
JavaScript is disabled for your browser. Some features of this site may not work without it.
View Item 
  • JYX
  • Opinnäytteet
  • Pro gradu -tutkielmat
  • View Item
JYX > Opinnäytteet > Pro gradu -tutkielmat > View Item

Lebesguen integraali - Rieszin määritelmä

Thumbnail
View/Open
402.6 Kb

Downloads:  
Show download detailsHide download details  
Authors
Lehtonen, Taru
Date
2016
Discipline
MatematiikkaMathematics

 
Tutkielmassa tarkastellaan ensin Riemannin integraalia ja sen ongelmia rajankäyntitilanteissa. Suurin ongelma rajankäynnissä on, että Riemannintegraalien jonon raja-arvo ei välttämättä aina ole sama kuin rajafunktion Riemann-integraali. Lisäksi todetaan, että Riemann-integroituvien funktioiden joukko on melko pieni. Seuraavana esitellään porrasfunktioiden integraali ominaisuuksineen. Tämän jälkeen perehdytään Riemann-integroituvien funktioiden luokkaa suurempaan yläfunktioiden luokkaan L+ ja lisäksi osoitetaan, että Riemann-integroituvat funktiot kuuluvat yläfunktioiden luokkaan. Yläfunktioiden luokan esittelyn jälkeen määritellään Lebesguen integraali ja perehdytään sen ominaisuuksiin. Lebesguen integraali määritellään Rieszin määritelmän mukaan, sillä se on tiivistetympi, suoraviivaisempi ja johtaa nopeammin asian ytimeen kuin Lebesguen alkuperäinen määritelmä. Lisäksi laajennetaan yläfunktioiden luokka Lebesgue-integroituvien funktioiden luokkaan L ja osoitetaan tämän olevan selvästi suurempi kuin yläfunktioiden luokka. Viimeisessä kappaleessa perehdytään Lebesguen integraalin rajankäyntiin monotonisen konvergenssin lauseen ja dominoidun konvergenssin lauseen avulla. Dominoidun konvergenssin lause on yksi Lebesguen integraalin tärkeimmistä tuloksista. Tiivistetysti konvergenssilauseiden sanoma on, että integroinnin ja rajankäynnin järjestystä voidaan vaihtaa. ...
Keywords
Lebesguen integraali Riemannin integraali yläfunktio konvergenssilause integraalilaskenta konvergenssi
URI

http://urn.fi/URN:NBN:fi:jyu-201603241939

Metadata
Show full item record
Collections
  • Pro gradu -tutkielmat [25556]

Related items

Showing items with similar title or keywords.

  • Bochner-integraali ja Radon-Nikodym -ominaisuus 

    Miettinen, Jani (2022)
    Tutkielma tarkastelee Banach-avaruuksien vektoriarvoista Bochner-integraalia. Integraali määritellään yksinkertaisille kuvauksille Lebesgue-integraalia ja avaruuden täydellisyyttä käyttäen. Tämän jälkeen tutustutaan ...
  • Moniulotteinen Riemannin integraali 

    Kattelus, Elina (2023)
    Tässä tutkielmassa tutustutaan moniulotteiseen Riemannin integraaliin ja sen taustalla oleviin lauseisiin ja todistuksiin. Riemannin integraali saadaan Darboux’n summien raja-arvona integrointivälin jakoa tihennettäessä, ...
  • Jordanin sisältö ja Lebesguen ulkomitta 

    Ojalehto, Jennika (2016)
    Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua Jordanin sisältöön ja Lebesguen ulkomittaan reaaliakselin välillä ja tason joukossa, joita käytetään muun muassa tutkittaessa funktion Riemann-\hskip0pt integroituvuutta. ...
  • Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity 

    Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)
    We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ...
  • Pestov identities and X-ray tomography on manifolds of low regularity 

    Ilmavirta, Joonas; Kykkänen, Antti (American Institute of Mathematical Sciences (AIMS), 2023)
    We prove that the geodesic X-ray transform is injective on scalar functions and (solenoidally) on one-forms on simple Riemannian manifolds (M, g) with g ∈ C1,1. In addition to a proof, we produce a redefinition of simplicity ...
  • Browse materials
  • Browse materials
  • Articles
  • Conferences and seminars
  • Electronic books
  • Historical maps
  • Journals
  • Tunes and musical notes
  • Photographs
  • Presentations and posters
  • Publication series
  • Research reports
  • Research data
  • Study materials
  • Theses

Browse

All of JYXCollection listBy Issue DateAuthorsSubjectsPublished inDepartmentDiscipline

My Account

Login

Statistics

View Usage Statistics
  • How to publish in JYX?
  • Self-archiving
  • Publish Your Thesis Online
  • Publishing Your Dissertation
  • Publication services

Open Science at the JYU
 
Data Protection Description

Accessibility Statement

Unless otherwise specified, publicly available JYX metadata (excluding abstracts) may be freely reused under the CC0 waiver.
Open Science Centre