Lämpöyhtälön ja Laplacen yhtälön ratkaisun ominaisuuksia

Abstract

Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua kahteen tärkeään osittaisdifferentiaaliyhtälöön; Laplacen yhtälöön ja lämpöyhtälöön. Näitä molempia hyödynnetään fysiikan lisäksi useiden muidenkin tieteenalojen sovelluksissa.

Lämpöyhtälö, joka tunnetaan myös diffuusioyhtälönä, kuvaa jonkin suureen esimerkiksi lämmön johtumista aineissa ajan kuluessa. Pitkän ajan kuluttua tilanne tasapainottuu, jolloin lämmön määrä pysyy ajan suhteen vakiona tarkasteltavan alueen joka pisteessä. Tällaista täysin stabiloitunutta tilannetta voidaan mallintaa Laplacen yhtälöllä. Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. Tutkielmassa johdetaan perusratkaisu ja keskiarvoperiaate molemmille osittaisdifferentiaaliyhtälöille, sekä tutustutaan yhtälöiden fysikaalisiin tulkintoihin.

Tutkielman motivaationa on oppia diskretisoimaan yksiulotteinen osittaisdifferentiaaliyhtälö sekä rakentamaan sen perusteella numeerinen ratkaisija lämpöyhtälölle Matlab-ohjelmaa hyödyntämällä. Diskretointien ja keskiarvoperiaatteiden välillä havaitaan yhteys.