Lämpöyhtälön ja Laplacen yhtälön ratkaisun ominaisuuksia
Tämän tutkielman tarkoituksena on tutustua kahteen tärkeään osittaisdifferentiaaliyhtälöön; Laplacen yhtälöön ja lämpöyhtälöön.
Näitä molempia hyödynnetään fysiikan lisäksi useiden muidenkin tieteenalojen sovelluksissa.
Lämpöyhtälö, joka tunnetaan myös diffuusioyhtälönä, kuvaa jonkin suureen esimerkiksi lämmön johtumista aineissa ajan kuluessa. Pitkän ajan kuluttua tilanne tasapainottuu, jolloin lämmön määrä pysyy ajan suhteen vakiona tarkasteltavan alueen joka pisteessä. Tällaista täysin stabiloitunutta tilannetta voidaan mallintaa Laplacen yhtälöllä. Laplacen yhtälön toteuttavia funktioita kutsutaan harmonisiksi funktioiksi. Tutkielmassa johdetaan perusratkaisu ja keskiarvoperiaate molemmille osittaisdifferentiaaliyhtälöille, sekä tutustutaan yhtälöiden fysikaalisiin tulkintoihin.
Tutkielman motivaationa on oppia diskretisoimaan yksiulotteinen osittaisdifferentiaaliyhtälö sekä rakentamaan sen perusteella numeerinen ratkaisija lämpöyhtälölle Matlab-ohjelmaa hyödyntämällä. Diskretointien ja keskiarvoperiaatteiden välillä havaitaan yhteys.
...
Keywords
Metadata
Show full item recordCollections
- Pro gradu -tutkielmat [28039]
Related items
Showing items with similar title or keywords.
-
Köydenvetopeli satunnaiskohinalla ja p-Laplacen yhtälö
Taipalus, Janne (2023)Tässä tutkielmassa tutustumme köydenvetopeliin satunnaiskohinalla. Kyseinen peli on kahden pelaajan stokastinen peli, jossa kukin pelaaja yrittää saavuttaa alueen reunan sellaisesta kohdasta, joka on hänelle edullinen. ... -
Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen keskeisdifferenssimenetelmillä
Heikkinen, Janne (2020)Tutkielmassa käydään läpi miten Schrödingerin aaltoyhtälö voidaan ratkaista numeerisesti. Käydään kaksi eri menetelmää, keskeisdifferenssimentelmä, sekä yleistetty keskeisdifferenssimenetelmä. Menetelmille käydään läpi ... -
p-Laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelmasta
Siltakoski, Jarkko (2016)Tämän tutkielman tarkoitus on tutustua epälineaarisiin ominaisarvo-ongelmiin p-Laplacen operaattorin ominaisarvo-ongelman kautta. p-Laplacen operaattori on Laplacen operaattorin eräs yleistys ja tarkastelun kohteena oleva ... -
Normalisoidun p-parabolisen yhtälön radiaaliset ratkaisut
Kurkinen, Tapio (2020)Tässä tutkielmassa tarkastellaan stokastisesta peliteoriasta esille tullutta normalisoitua p-parabolista yhtälöä ja tämän radiaalisten ratkaisujen yhteyttä klassiseen lämpöyhtälöön. Radiaalisia ratkaisuja tarkastellessa ...